Равнопеременное вращательное движение

Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε =const, то вращательное движение называется равнопеременным. Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения
(1)φ = φ ₀ + ω ₀t + ε t²/2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2)ω = ω ₀ + ε t
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ ₀, ω ₀ и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.

Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.

Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3)φ = φ ₀ + (ω + ω ₀)t/2.

Исключим из (1) и (2) время t:
(4)φ = φ ₀ + (ω ² - ω ₀²)/(2ε).

В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ ₀=0 и ω ₀=0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5)φ = ε t²/2;
(6)ω = ε t;
(7)φ = ω t/2;
(8)φ = ω ²/(2ε).

16. Скорость и ускорение точки вращаю­щегося тела

Возьмем в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси, некото­рую точку , находящуюся на расстоянии от оси вращения. При вращении тела точка движется по окружности радиуса (рис. 2.12, б). Поэтому при пово­роте тела на угол точка окажется на расстоянии от своего на­чального положения. Дифференцируя это равенство по времени, получим

.

Таким образом,

, (2.35)

т. е. скорость любой точки вращающегося тела равна произведению расстояния от точки до оси вращенияна угловую скорость. Так как скорость направлена по касательной к окружности, по которой движетсяточка , а касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то вектор скорости любой точки вращающегося тела направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку и ось вращения. Ускорение точки складывается из касательной и нормальной составляющих. Касательная составляющая ускорения направлена по одной прямой со скоростью и в ту же сторону, что и скорость, если движение уско­ренное, и в противоположную сторону, если движение замедленное. По фор­мулам (2.21), (2.34) и (2.35)

. (2.36)

Нормальная составляющая ускорения направлена от точки к оси вращения. Так как радиус кривизны в данном случае равен радиусу окружности, которую описывает точка, то по формулам (2.22) и (2.25)

. (2.37)

Касательное и нормальное ускорения точки вращающегося тела называются иначе вращательным и центростремительным ускорениями.

Модуль полного ускорения на основании формулы (2.23) будет равен:

. (2.38)

Угол , который вектор полного ускорения образует с радиусом , определяется равенством:

. (2.39)

17. Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения.