Необходимые математические сведения из линейной алгебры, теории систем линейных уравнений, выпуклого анализа

(эта версия темы №2 не полная, см. укр. вариант)

Векторы

В дальнейшем будем считать, что всегда является вектором – столбцом

Вектор – строку будем обозначать так:

Скалярное произведение векторов запишем как (д.б. одной размерности)

Def Множество векторов линейно независимо тогда и только тогда, когда система (ноль – столбец) имеет только тривиальное (нулевое) решение относительно

Матрицы

Рассмотрим матрицу A размерности m´ n.

Обозначим через

– вектор-столбец, элементы которого являются элементами j -го столбца A, .

- вектор – столбец с элементами i - ой строки A, .

С учетом обозначений и можно записать =

def 1. Рангом матрицы А по столбцам называется наибольшее число линейно независимых векторов среди n m -мерных столбцов .

При этом максимальное число линейно независимых столбцов равно максимальному числу линейно независимых строк. Значит аналогично определению 1 определяется ранг матрицы по строкам.

def 2. Рангом матрицы А по минорам называется наибольший порядок минора среди миноров, отличных от нуля (минор – это определитель подматрицы).

Для произвольной матрицы А ранг по столбцам, ранг по строкам и ранг по минорам равны.

def. Матрица А называется невырожденной (неособенной), если она квадратная (m = n) и полного ранга (rang A = n). Только невырожденная матрица имеет обратную.

Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными может быть записана в виде

или в виде матричного уравнения

Ax=b (1)

Единственное решение системы существует в том случае, если m = n и А – неособенная.

Тогда

Используя наше обозначение для j -го столбца А, матричное уравнение (1) можно переписать в виде

Таким образом решение системы уравнений можно свести к отысканию линейной комбинации векторов , которая равна вектору b. Коэффициенты этой линейной комбинации и есть элементы x₁, x₂, ….., x_n вектора x. Если А – неособенная матрица, то векторы линейно-независимы, а значит существует одна и только одна такая комбинация.

Выпуклые множества

Пусть x¹, x², ….., x ^k – произвольные точки из .

Выпуклой линейной комбинацией (ВЛК) этих точек называется сумма вида:

,

где – произвольные неотрицательные числа, такие, что

.

Теорема: Пусть Х – выпуклое множество, x¹, x², ….., x ^k – произвольные точки из Х. Тогда множество Х содержит любую выпуклую линейную комбинацию этих точек.

Доказательство:

Доказательство проведем с помощью метода математической индукции (по числу точек k).

ü Ситуация, когда k = 1 тривиальна.

ü При k = 2 утверждение теоремы совпадает с определением выпуклого множества.

ü Пусть любая выпуклая линейная комбинация k – 1 точек множества Х принадлежит данному множеству.

ü Рассмотрим k точек x¹, x², ….., x^{k -1}, x ^k.

Их линейная выпуклая комбинация:

Если , то при и Þ теорема справедлива.

Пусть . Тогда .

Числа , - неотрицательны и их сумма равна единице:

Следовательно, выражение – выпуклая линейная комбинация точек x¹, x²,..., x ^{k -1} множества Х. По предположению индукции .

В таком случае точка является выпуклой линейной комбинацией двух точек из Х и, следовательно, .