Гипотеза о равенстве дисперсии некоторой константе

Дисперсия может служить показателем точности какого-то прибора, инструмента или даже технологии выполнения наблюдений. При этом часто встаёт вопрос о том, обеспечена ли требуемая точность работ. Подобный вопрос может быть сформулирован в форме нулевой гипотезы

H ₀ = {σ ² = C } (259)

против альтернативной

H _A = {σ ² ≠ C }, (260)

где С – требуемое значение дисперсии, как показателя точности.

Пусть мы имеем простую выборку x ₁ x ₂ … x_n из нормальной генеральной совокупности X N (E (X); σ ² _X), представляющей собой наблюдения некоторой величины «X» без постоянной погрешности. По данным такой выборки можно построить оценивающие функции для математического ожидания и дисперсии: среднее арифметическое – = (Σ x_i) / n и исправленное значение дисперсии наблюдений – m ² = Σ (x_i – )²/(n –1). В качестве эмпирического теста используется дробь

, (261)

имеющая [21] χ ² -распределение с r = (n – 1) степенью свободы. Критические границы двухстороннего доверительного интервала , соответствующего уровню значимости α, будут равны:

= и = . (262)

Нулевая гипотеза (259) отвергается, когда .

Тест (261) может быть использован как для оценки качества технологии работ, включающей в себя квалификацию исполнителя, так и для оценки точностных параметров аппаратуры, когда имеется уверенность в упомянутой квалификации персонала.

Пример, осреднённые данные для которого вычислены по информации из [23], стр. 178, иллюстрирует применение критерия (261) для проверки соответствия точности прибора его технической характеристике.

Пример 3.29. Горизонтальный угол измерен посредством триангуляционного теодолита ТТ-2″ /6″ № 8019. Данные измерений приводятся в табл. 3.10 (только секунды дуги).

Табл. 3.10

Результаты наблюдений рассматриваются как простая выборка из генеральной совокупности X. По этим данным получены несмещённые оценки математического ожидания (среднее арифметическое) и дисперсии (исправленная дисперсия) генеральной совокупности:

= (Σ x_i) / n = 48, 55″; m ² = Σ (x_i - )² / (n – 1) = 1, 55.

Задача состоит в проверке на уровне значимости α = 0, 05 нулевой гипотезы (259) о равенстве дисперсии σ ² некоторой константе С:

H ₀ = { σ ² = С },

против альтернативной (260)

H _A = { σ ² ≠ С }.

В качестве константы используется техническая характеристика измерений горизонтальных углов, зафиксированная в названии теодолита (m _гор= 2″):

С = (2″)² = 4.

Тест (261) даёт следующий результат:

= 4, 26.

Область , определенная на уровне значимости α = 0, 05 с числом степеней свободы n = 11, имеет границы:

χ ²_H = χ ²_{11; 0, 025} = 3, 82 и χ ²_B = χ ²_{11; 0, 975} = 21, 92.

Таким образом, χ ²_Э = 4, 26 χ ²_Т = [ 3, 82; 21, 92 ] и, следовательно, нулеваягипотеза (259) не отвергается. Это означает, что техническая характеристика данного прибора (m _гор= 2″) не противоречит экспериментальным данным.

3.3.2.2 Распределение Фишера.

Распределение Фишера, или F -распределение, является законом распределения дроби, представляющей собой отношение двух стохастически не связанных величин u и v, учитывающее тот факт, что каждая из этих величин характеризуется χ ² -распределением с числом степеней свободы ν ₁ и ν ₂, соответственно:

. (263)

Плотность вероятности пары { u, v } равна [22]:

, (264)

когда u [0, ∞ [ и v [0, ∞ [. Для отрицательных значений u и vf (u, v) = 0.

Соответствующая функция распределения – это и есть F -распределение Фишера-Снедекора, характеризующееся двумя параметрами ν ₁ и ν ₂. Для часто употребляемых значений вероятностей P составляются таблицы с двумя входами ν ₁ и ν ₂ (Приложения П-1 и П-2):

F_P (ν ₁, ν ₂) = P. (265)

Важно отметить, что величина 1/φ также имеет F -распределение с параметрами ν ₂ и ν ₁:

F _{1- P} (ν ₂, ν ₁) = 1 / F_P (ν ₁, ν ₂). (266)

Распределение Фишера применяется для проверки гипотезы о равенстве двух несмещённых выборочных дисперсий m ₁² и m ₂², оценённых по простым выборкам из двух различных нормальных генеральных совокупностей, каждая из которых имеет свою дисперсию σ ₁² и σ ₂², соответственно. Пусть первая выборочная дисперсия m ₁² вычислена по данным простой выборки, объёмом n ₁, а вторая, m ₂² – n ₂. В таком случае дробь

,

как это показано в [22], будет иметь F -распределение с числамистепенейсвободы ν ₁ = (n ₁ – 1) и ν ₂ = (n ₂ – 1). Вероятность γ того, что эта дробь лежит в пределах между квантилями F ₁ и F ₂ определит границы доверительного интервала:

P (F ₁ < < F ₂) = γ. (267)

Для интересующей нас дроби m ₁² / m ₂² интервал (267) легко преобразуется в эквивалентный:

P (F ₁· < < F ₂· ) = γ. (268)

Если предполагается, что дисперсии обеих генеральных совокупностей одинаковы, т.е. σ ₁²=σ ₂²=σ ², то нулевая гипотеза о равенстве дисперсий записывается следующим образом:

H ₀ = { m ₁² = m ₂² = σ ² }. (269)

В таком случае интервал (267) принимает вид

P (F ₁ < < F ₂) = γ. (270)

Квантили F -распределения с (n ₁ – 1) и (n ₂ – 1) степенями свободы зависят от доверительной вероятности γ = P:

F ₁ = F _{(1+γ )/2}(n ₁–1; n ₂–1), F ₂ = F _{(1-γ )/2}(n ₁–1; n ₂–1).

Эти же квантили можно представить как функции уровня значимости α =1–γ:

F ₁ = F _{1-α /2}(n ₁–1; n ₂–1), F ₂ = F _{α /2}(n ₁–1; n ₂–1).

Они ограничивают область

F _T = [ F ₁; F ₂], (271)

которая с вероятностью γ = P накрывает неизвестное истинное значение отношения дисперсий.

В качестве теста используется отношение б о льшей оценки дисперсии к м е ньшей. Обозначим б о льшую оценку дисперсии через m ₁², а м е ньшую – m ₂². Тогда тест, всегда б о льший единицы, будет иметь вид:

F _Э = m ₁² / m ₂². (272)

Нулевая гипотеза (269) отвергается, когда F _Э F _T.

Следующий пример, данные для которого заимствованы из [23], стр. 238, иллюстрирует использование критерия Фишера-Снедекора при анализе двух выборочных дисперсий.

Пример 3.30. «Горизонтальный угол измерен двумя наблюдателями посредством триангуляционных теодолитов ТТ-2″ /6″ № 8019 и 8002. Сводка измерений приводится в табл. 3.11 (только секунды дуги)».

Табл. 3.11

Данные измерений рассматриваются как две простые выборки из двух генеральных совокупностей X и Y. По этим данным получены несмещённые оценки математических ожиданий и дисперсий обеих генеральных совокупностей:

= 5, 51″; m_x ² = 1, 10; = 5, 96″; m_y ² = 1, 01.

Задача заключается в проверке на уровне значимости α = 0, 05 нулевой гипотезы о равенстве дисперсий

H ₀ = { m_x ² = m_y ² = σ ² }, (273)

против альтернативной

H _A = { m_x ² ≠ m_y ² }. (274)

Эмпирическое значение теста (272) равно F _Э = m_x ² / m_y ² = 1, 09, а область F _T = [ F ₁; F ₂], с доверительной вероятностью γ = 1 – α = 0, 95 и числами степеней свободы n ₁–1 = n ₂–1 = 10, имеет границы

F ₁ = F _{0, 975; 10; 10} = 0, 27 и F ₂ = F _{0, 025; 10; 10} = 3, 72.

Таким образом, F _Э = 1, 09 F _T = [0, 27; 3, 72] и, следовательно, нулевая гипотеза (273) не отвергается. Это означает, что качество наблюдений, выполненных разными наблюдателями с помощью однотипных приборов вполне приемлемо.

3.3.3 Гипотезы о равенстве математического ожидания.

Чаще всего востребованы две гипотезы о равенстве математического ожидания:

1) гипотеза о равенстве математического ожидания константе – H ₀ = { E (X)= C };

2) гипотеза о равенстве математического ожидания двух разных генеральных совокупностей – H ₀ = { E (X) = E (Y)}.

Первая гипотезаH ₀ = { E (X) = C } может быть использована при компарировании или эталонировании прибора с целью оценивания его постоянной погрешности δ.

Примем значение эталона за константу С. Выполнив ряд некоррелированных равноточных измерений эталона, мы получим для анализа простую выборку x ₁ x ₂ … x_n из нормальной генеральной совокупности X N (E (X) = C; σ ² _X). По материалам такой простой выборки оценивают генеральные параметры математическое ожидание E (X) = C и дисперсию σ ² _X. Несмещёнными оценками этих параметров будут среднее арифметическое наблюдений = (Σ x_i)/ n и величина исправленной дисперсии m ² = Σ (x_i – )² / (n –1). Далее, используя тот факт [22], что дробь

(237)

подчиняется t -распределению с (n – 1) степенью свободы, проверяем на уровне значимости α нулевую гипотезу

H ₀ = { E (X) = C } (275)

против альтернативной

H _A = { E (X) ≠ C }. (276)

В качестве теста используется двухсторонний ДИ t _T = [ t _н; t _в], границы которого t _н и t _в представляют собой квантили распределения Стьюдента:

t _в = t_{r ; 1-a/2} и t _н = – t _в, (277)

где r = n – 1 – число степеней свободы статистики (237).

Нулевая гипотеза (275) отвергается, если . Это означает, что проверяемый прибор имеет зн а чимую постоянную погрешность, равную разности среднего арифметического ивеличине эталона С: δ = – C, которую надлежит учитывать. Средняя квадратическая погрешность постоянной разности δ определяется средней квадратической погрешностью значения среднего арифметического:

m _δ = m = m / . (278)

Тест (237) может быть так же использован, например, для проверки работы генератора стандартных нормальных чисел. Результаты его работы приведены в Задаче 3.27 (табл. 3.7, раздел 3.3.1.1). По этим данным мы можем проверить нулевую гипотезу о равенстве математического ожидания константе С.

Задача 3.31. Используя числовые данные таблиц 3.7 и 3.9, проверить на уровне значимости α = 0, 05 нулевую гипотезу H ₀ = { E (X) = C = 0}, против альтернативной H _A = { E (X) ≠ C = 0}. Объём выборки n = 120.

Решение. Оценка математического ожидания, т.е. среднее арифметическое выборки – это = 0, 014; средняя квадратическая погрешность данного значения m = m / = 0, 092. Эмпирическое значение теста, вычисленное по формуле (237) равно t _Э = 0, 15. Соответствующая α / 2%-процентная квантиль распределения Стьюдента с (n – 1) степенью свободы равна t _В=arg(F _Ст^{( n –1)}= =α /2)=2, 27.

Заключение. Нулевая гипотеза о равенстве математического ожидания генератора нулю не отвергается, т.к. t _Э = 0, 15 < t _В = 2, 27.

Вторая гипотезаH ₀ = { E (X) = E (Y)} бывает востребована в ситуации, когда одна и та же величина определяется двумя разными технологиями, вероятностными моделями которых служат две случайные величины X и Y.

Рассмотрим приближённый тест, предполагающий равенство генеральных дисперсий:

t _Э ≈ | - |· . (279)

Границы критической области лежат за пределами α / 2%-процентных квантилей t -распределения t _T = [ t _н; t _в] с r = (n_X + n_Y – 2) степенями свободы

t _в = – t _н = arg(F _Ст ^r = α /2). (280)

Когда t _Э t _T, нулевая гипотеза отвергается.

В качестве примера рассмотрим технику использования данного теста для проверки нулевой гипотезы о стабильности центра рассеяния генератора стандартных нормальных чисел.

Пример 3.32. Вновь воспользуемся выборкой, приведённой в таблице 3.7, дважды разбив весь массив на две половины: 1) «верхнюю» (X) и «нижнюю» (Y), и 2) «левую» (X) и «правую» (Y). Стабильность центра рассеяния эквивалентна нулевой гипотезе H ₀ = { E (X) = E (Y)}. Значения средних арифметических и исправленных дисперсий для «верха» и «низа» получились такими:

= 0, 05; = – 0, 03; m ² _X = 1, 00; m ² _Y = 1, 07.

Средние арифметические и исправленные дисперсии для «лево» и «право» дали несколько отличные результаты:

= 0, 12; = – 0, 09; m ² _X = 0, 91; m ² _Y = 1, 14.

Объёмы половин в обоих случаях равны, т.е. n_X = n_Y = 60.

Тест (279) t _Э = 0, 43 в первом случаеи t _Э = 1, 16 во втором. Квантиль (280), одна и та же в обоих тестированиях, оказалась равной t _B = 2, 27. Приведённые результатыпозволяют заключить, что наше предположение о стабильности центра рассеяния не опровергается опытными данными, т.к. в обоих экспериментах t _Э < t _B.

3.3.4 Гипотеза о некоррелированности двух случайных величин.

Вопрос о некоррелированности двух генеральных совокупностей X и Y имеет очень важное практическое значение. Большинство формул для оценивающих функций выведено в предположении, что выборка, из которой они находятся, является «простой», т.е. равноточной и некоррелированной. В связи со сказанным, мы можем разбить интересующую нас выборку на две равные половины X и Y и проверить их на некоррелированность, т.е. проверить нулевую гипотезу H ₀ = {ρ _XY = 0} против альтернативной гипотезы H _A = {ρ _XY ≠ 0}.

Тестом такой проверки служит точный критерий [21]

t _Э = r_xy · . (281)

Критическая область лежит за пределами «нижней (левой)» и «верхней (правой)» α / 2%-процентных точек t_{n –2}-распределения (280).

Пример 3.33. Проверить нулевую гипотезу о некоррелированности двух половин выборки из таблицы 3.7.

Вновь разобьём эту выборку пополам дважды: один раз «верх» и «низ», а второй – «лево» и «право».

Выборочная характеристика коэффициента корреляции «верх-низ» равна r _в-н = 0, 077. Половина общей выборки содержит k = n / 2 = 60 элементов. Тест (281) получился равным t _Э = 0, 58, а «верхняя» α / 2%-процентная квантиль t ₅₈-распределения (α = 0, 05) равна t _В = 2, 30.

Соответствующие параметры для пары «лево-право» получились подобными, за исключением, естественно, коэффициента корреляции r _л-п = 0, 185 и теста t _Э = 1, 43.

В обоих случаях эмпирические значения тестов оказались зн а чимо меньше граничной величины t _В = 2, 30. Следовательно, нулевая гипотеза о незн а чимости коэффициента корреляции H ₀ = {ρ _XY = 0} не отвергается. Другими словами, генератор (169), построенный на основе ЦПТ, даёт приемлемые простые выборки из стандартной нормальной генеральной совокупности. #