Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Предикаты и кванторы
|
|
Основы математической логики
Логика высказываний. Основные понятия и определения.
Основными понятиями математической логики, с которымимы будем постоянно оперировать, являются логические высказывания, высказывательные формы (или пропозициональные формулы), предикаты и кванторы. Высказывание - это предложение, которое либо истинно, либо ложно. Например, высказывание " Москва - столица России" является истинным, а " Волга впадает в Балтийское море" - ложным. Не всякое предложение является высказыванием. Логическими высказываниями являются утвердительные предложения, относительно которых можно говорить об истинности или ложности. Вопросительные и повелительные предложения не являются логическими высказываниями. Если предложение истинно, то его значение истинности равно 1, если ложно - то 0. По аналогии с элементарной алгеброй, где любое число является константой, высказывание является логической константой, величина которой равна 1 или 0.
Предложение " х2 = 4" не является высказыванием, для того, чтобы имело смысл говорить об его истинности или ложности, необходимы дополнительные сведения, в частности, какое число обозначено буквой " х", т.к. она может не обозначать конкретного числа, - а быть переменной, т.е. представлять элементы некоторого множества, например (-2. О, 2, 4).
Каждому значению переменной соответствует либо истинное, либо ложное высказывание; например высказывания (-2)2 = 4, 22 =4 истинны, остальные ложны.
Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называют высказывательной или пропозициональной (ПФ) формой.
Аналогом ПФ в элементарной алгебре являются алгебраические формулы или арифметические выражения.
Предикаты и кванторы
Рассмотрим высказывательную форму cos х=1. Каждому значению " х" на множестве действительных чисел эта форма ставит в соответствие высказываниеи, тем самым, одно из значений истинности {0, 1}. Так значению х = 0, соответствует истинное высказывание cos0 = 1, при х = 2p соответствует истинное высказывание cos 2p = 1, вообще всякому значению х кратному 2х соответствует истинное высказывание, а всем остальным значениям ложные высказывания. Т.о. данная высказывательная форма задает отображение множества R действительных чисел на множество {1, 0} или {и, л}, иначе говоря, задает функцию с областью определения R и множеством значений {1, 0}.
Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество, называемое областью определения функции или областью отправления, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений (прибытия) функциии, в-третьих, указанно определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, становится в соответствие некоторый элемент из области значений.
Произвольный элемент взятый из области определения функции называется аргументом и обозначается “х”. Правило соответствия обозначается F, т.о. запись у=F(х) означает, что х - аргумент, у - функция, F - правило соответствия.
Функция, область определения которой задана множеством М, а все значения которой, принадлежат множеству {1, 0} называется предикатом.
Пример 1: Если переменная “х” в высказывательной форме " Река х впадает в Каспийскоеморе" принимает значение из множества М названий всевозможных рек, то эта форма задает предикат.
Из высказывательных форм можно получать высказывания не только подстановкой вместо переменныхих значений, но и с помощью специальных слов: " всякий" (а также его синонимов " любой", " каждый") и " существует" (" некоторые", " по меньшей мере один") например из высказывательной формы: " Число х делится на 7" можно получить ложное высказывание “Всякое число х делится на 7” и истинное высказывание " Существует число х, которое делится на 7".
Выражение " для всякого х" называется кванторам общности по переменной х (вместо х может быть любая другая переменная) и записывается " х (Ф (х)).
Выражение, " существует х, такое что..." называется квантором существования по переменной х и обозначается $ х (Ф(х)), что означает существует значение " х" такое, что Ф(х) при этом значении - истинное высказывание. Переход от формы Ф(х) к высказыванию " х (Ф(х)) или $ х (Ф(х)) называется операцией квантификацией формы Ф(х). Будем называть переменную " х" в Ф(х) после применения к ней операции квантификации связанной переменной. В отличие от связанных переменных, переменные в первоначальном смысле слова называются свободными переменными.
|
|