Решение в).

Общее решение неоднородного ЛДУ 2-го порядка имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Частное решение уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , , …. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

Общее решение данного ДУ найдём в виде: , где - фундаментальная система частных решений соответствующего ему однородного ДУ: ; - какое-нибудь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.

Сначала найдём ФСР соответствующего однородного ДУ . Для этого составим характеристическое уравнение для данного однородного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , , т.е. характеристическое уравнение имеет два одинаковых действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид .

Затем найдём частное решение неоднородного уравнения , имеющегоправую часть специального вида , где , , , . Частное решение найдём в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. В данном случае: число не является корнем характеристического уравнения, поэтому ; , поэтому , , где - неизвестные постоянные, подлежащие определению. Таким образом, частное решение с неизвестными постоянными запишется в виде:

.

Для определения значений постоянных и , найдём производные

и подставим выражения для вместо в неоднородное уравнение . Учитывая, что:

, ,

получим:

.

Приравняв, в правой и левой части полученного равенства, постоянные коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и : . Решив систему, найдём: , . Частное решение запишется тогда в виде: .

Теперь запишем общее решение исходного уравнения в виде:

.

Ответ: .

Раздел V. Теория вероятностей и математическая статистика.

151-160. Требуется найти вероятности указанных событий, используя

классическое определение вероятности:

а) Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одного из кубиков появится шестерка.

б) В урне находятся 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом из урны вынимают 4 шара. Найти вероятности того, что среди вынутых шаров окажутся: «2 белых шара»; «не более одного белого шара»; «хотя бы один белый шар».

При классическом определении вероятность случайного события определяется равенством: , где - число элементарных (далее неделимых и взаимно исключающих друг друга) исходов эксперимента, благоприятных появлению события ; - общее число равновозможных элементарных исходов эксперимента. Равновозможность элементарных исходов обеспечивается такими условиями проведения эксперимента (опыта, испытания), при выполнении которых можно считать, что ни один из исходов не является объективно более возможным, чем другие.

Если событие определяется словами «хотя бы один…», то непосредственное нахождение по формуле классического определения вероятности приводит обычно к громоздким вычислениям. Проще сначала найти вероятность события , противоположного событию и определяемого словами «ни один…», а затем, используя формулу для вероятностей противоположных событий: , вычислить вероятность искомого события.

Для нахождения вероятности события по формуле необходимо:

1) Рассмотреть событие , вероятность которого следует найти.

2) Правильно определить, что является в данном испытании элементарным исходом.

3) Найти общее число элементарных исходов, предварительно выписав их все непосредственно. Если выписать все элементарные исходы не представляется возможным из-за их чрезмерного количества, то при подсчете их числа используют правила и формулы комбинаторики.

4) Установить какое число элементарных исходов данного испытания благоприятствуют появлению события .