Устойчивость центральная сжатость стержней.

Устойчивостью называется способность сооружений сохра­нять свое первоначальное положение или первоначальную форму равновесия в деформированном состоянии при действии внеш­них сил.

В соответствии с этим надо различать устойчивость поло­жения сооружения и устойчивость форм равновесия в нагруженном состоянии.

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются устойчивыми, если при всяком, сколь угодно малом дополнительном возмущении, сооружение отклоняется от исследуемо­го положения или равновесного состояния, однако после исчезно­вения дополнительного возмущения полностью возвращается в исходное состояние (для упругих систем), или проявляет тенденцию к возвращению в исходное состояние (для упруго-пластических систем).

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются неустойчивыми, если при каком-либо сколь угодно малом отклонении от исследуемого равновесном сос­тоянии и после исчезновения возмущения сооружение не проявля­ет тенденцию к уменьшению получаемых отклонений, а иногда отклоняется еще далее - до нового положения или новой формы равновесного состояния.

Переход сооружения из одного равновесного состояния к дру­гому равновесному состоянию называется потерей устойчи­вости системы. Состояние перехода называется критиче­ским состоянием. При этом, величины внешних сил, действую­щие на сооружение называются критическими.

Как это следует из понятия устойчивости, в механике различа­ют два вида потери устойчивости сооружения: потерю устой­чивости положения и потерю устойчивости, вызван­ной сменой формы равновесного состояния.

В качестве примера потери устойчивости положения соору­жения рассмотрим равновесное положение жесткой пластинки, изображенной на рис.13.1, расположенной на двух опорах при действии собственного веса величиной G и силы P.

Учитывая, что левая подвижная опора способна развить реак­цию только вверх, т.е. представляет собой одностороннюю связь, следовательно, при условии состояние пластинки явля­ется устойчивым. В данном случае левая опорная реакция - вели­чина конечная и направлена вверх.

.

С ростом силы P, при левая опорная реакция прини­мает нулевое значение, а равно­действующая сил P и G пройдет через правый шарнир. Это при­знак того, что наступило крити­ческое состояние. Поэтому зна­чение силы P считается критиче­ским и обозначается Pкр.

Очевидно, что даже при незначительном росте величины силы P произойдет опрокидыва­ние пластины и она займет новое равновесное положение. То есть произойдет потеря устойчивости положения пластины.

При изучении потери устойчивости сооружений, связанная со сменой формы деформированного состояния в строительной меха­нике различают два рода потери устойчивости.

Потерю устойчивости, связанную только со сменой формы деформированного состояния, называют потерей устойчивос­ти первого рода, что свойственно только упругим системам.

Потерей устойчивости второго рода принято назы­вать первое предельное состояние системы по несущей способ­ности системы, т.е. состояние системы, когда при дальнейшем уве­личении внешних сил равновесие между внешними и внутренними силами нарушается.

Основная задача теории устойчивости заключается в опреде­лении критических значений внешних сил. При этом наибольшее практическое значение имеет определение критических значений внешних сил при потере устойчивости системы по первому роду.

13.2. Критерии определения устойчивости упругих систем

В теории устойчивости основными критериями определения критических значений внешних нагрузок являются энергетиче­ский, динамический и статический.

В основе энергетического критерия заложен известный прин­цип Лагранжа-Дирихле, согласно которому, если система находится в состоянии устойчивого равновесия, ее полная потен­циальная энергия обладает минимумом по сравнению со всеми соседними состояниями системы; если в состоянии неустойчивого равновесия - то максимумом; а если в безразличном, т.е. кри­тическом - то потенциальная энергия является постоянной вели­чиной.

В общем случае изменение (вариацию) полной потенциаль­ной энергии системы dU при переходе ее от рассматриваемого состояния к соседнему можно записать таким образом:

dU = dV - dT,

где dV - вариация потенциальной энергии внутренних сил; dT -вариация потенциальной энергии внешних сил.

Следовательно, критическое состояние системы, согласно энер­гетического критерия, определяется из условия

dU = 0 или dV = dT.

При решении задач устойчивости по динамическому критерию исходят из предположения, что колеблющаяся система около свое­го положения равновесия, не способна возвращаться к первона­чальному положению. Данное предположение равносильно утверж­дению, что в критическом состоянии спектр собственных частот рассматриваемой системы стремится к нулю, т.е. = 0 (i = 1, 2, 3,...). Здесь - собственная частота рассматриваемой системы при i-ой форме колебаний.

Следовательно, при решении задач по динамическому крите­рию составляется уравнение собственных колебаний заданной си­стемы, далее определяется выражение частот собственных колеба­ний и из условия их равенства нулю определяется критическое значение внешних сил.

Так например, для сжатого осевой продольной силой P стержня постоянного поперечного сечения с распределенной массой, часто­та основного тона поперечных колебаний выражается формулой где - собственная частота поперечных колебаний при отсутст­вии сжимающей силы, т.е. при P = 0.

Очевидно, что при, и период колебаний, т.е. стержень, колеблющийся около своего положения равновесия, не способен возвращаться к первоначальному состоя­нию.

Суть статического критерия заключается в следующем. Иссле­дуемой системе задается отклоненная форма равновесия, совпада­ющая по характеру перемещений с ожидаемой новой формой рав­новесного состояния системы после потери устойчивости системы, и определяются значения рассматриваемых внешних нагрузок, способных удержать систему в новой форме равновесного состоя­ния.

Значения внешних нагрузок, способных удержать систему в новом равновесном состоянии, при соблюдении граничных усло­вий по исходному состоянию, является критическим.

В дальнейшем, здесь рассматривается решение задач теории устойчивости с применением только статического критерия, так как он является основным критерием при выполнении практиче­ских расчетов упругих консервативных систем.