Критерии устойчивости САР

Критерии устойчивости это правила, в соответствии с которыми можно судить об устойчивости САР, не вычисляя непосредственно корней ее характеристического полинома.

Критерии разделяются в соответствии с используемым математическим аппаратом на алгебраические (Гурвица, Рауса и Воронова) и частотные (Михайлова и Найквиста) [1].

С практической точки зрения критерии полезно разделить на те, которые не требуют для своего применения выполнения каких либо условий (Гурвица, Воронова и Михайлова) и критерий Найквиста, который требует для своего практического применения выполнения условия: разомкнутая САР должна быть устойчивой.

Значимость критериев Гурвица и Михайлова в настоящее время, когда широко применяются программы объектно-ориентированного моделирования (Vissim, ПК «МВТУ», Simulink из пакета MathLab и др.), в некоторой мере уменьшилась. Ранее эти критерии использовались, в частности, для оценки устойчивости разомкнутого контура с целью определения и обеспечения выполнения условия практического применения критерия Найквиста (см. выше). Тем не менее, и сейчас знание критериев Гурвица, Воронова и Михайлова не повредит, их можно использовать для инженерных экспресс - оценок устойчивости [2].

Критерий Гурвица сформулируем для системы третьего порядка. Это самая простая система с положительными коэффициентами характеристического полинома, способная терять устойчивость. В то же время, на примере этой системы можно проследить все основные свойства линейной САР общего вида. Пусть передаточная функция САР имеет вид:

(7.1)

Степень полинома числителя должна быть меньше степени полинома знаменателя (характеристического полинома САР) – это условие физической реализуемости САР. Все коэффициенты знаменателя должны быть положительными (правило Стодолы [3]) – это практически удобное необходимое, но не достаточное условие устойчивости САР.

В соответствии с критерием Гурвица САР (7.1) устойчива, если выполняется соотношение a₁· a₂ > a₀, что легко проверяется даже в уме. Отметим, что при а₀ = 0 в (7.1) получается система второго порядка и из критерия Гурвица следует, что она устойчива при любом соотношении положительных коэффициентов характеристического полинома. Но система второго порядка это просто колебательное звено, переходная функция которого при декременте затухания, большем нуля, стремится достичь некоторого постоянного уровня, что согласуется с результатом, даваемым критерием Гурвица.

Критерий устойчивости Найквиста:

Замкнутая САР устойчива тогда и только тогда, когда годограф комплексного коэффициента передачи (ККП) ее разомкнутого контура начинается на действительной оси комплексной плоскости и при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывает точку с координатами (-1, 0j).

Рис.7.5. Примеры годографов комплексных коэффициентов передачи разомкнутых статической (1 - красная кривая) и астатической первого порядка (2 – синяя линия) САР. Годограф статической САР 1 в данном случае охватывает точку с координатами (-1, 0j). Статическая САР 1 не устойчива. Годограф астатической САР 2 не охватывает названную точку. Рассматриваемая астатическая САР устойчива

Приведенная формулировка критерия Найквиста справедлива только для случая, когда разомкнутая САР устойчива. Проверить факт устойчивости разомкнутого контура можно с помощью критериев Михайлова или Гурвица, а также прямым моделированием в Vissim’е разомкнутого контура и определением факта устойчивости по переходной характеристике.

Но если имеется годограф комплексного коэффициента передачи, то об устойчивости разомкнутого контура проще всего судить по его поведению в окрестностях начала координат, т.е. при частотах, стремящихся к бесконечности. В соответствии с обобщенным инверсным критерием устойчивости Михайлова [6]: годограф ККП устойчивого разомкнутого контура приходит в начало координат по часовой стрелке, в то время как годограф неустойчивого разомкнутого контура приходит против часовой стрелки:

Рис.7.6. Годографы ККП устойчивых в разомкнутом состоянии САР (красный и синий) и неустойчивой в разомкнутом состоянии САР (черный).

По первым двум годографам (рис. 7.6.) можно судить об устойчивости замкнутых САР в соответствии с критерием Найквиста. К черному годографу нельзя применить вышеприведенную формулировку критерия Найквиста, а значит, нельзя и определить, будет ли устойчива соответствующая САР в замкнутом состоянии

Логарифмический вариант критерия Найквиста

Поскольку ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутого контура содержат ту же самую информацию о системе, что и годограф ККП, то по ним также можно судить об устойчивости САР. Зачастую это значительно удобнее.

Замкнутая САР устойчива тогда и только тогда, когда частота среза ω _ср ЛАЧХ разомкнутого контура меньше частоты ω _π (читается омега-пи) ЛФЧХ:

Рис.7.7. ЛАЧХ и ЛФЧХ тех же самых систем, чьи годографы показаны на рис. 7.5. Слева – общий вид, справа – увеличенный фрагмент. Частота среза ω _ср1 статической САР (1 – красные линии) больше частоты ω _{π 1}. Эта САР не устойчива. Частота среза ω _ср2 астатической САР (2 – синие линии) меньше частоты ω _{π 2}. Эта САР устойчива