Использование пакета MatLab

В пакете MatLab имеется ряд функций, с помощью которых можно выполнять структурные преобразования:

– series(w1, w2) – последовательное соединение динамических звеньев;

– parallel(w1, w2) – параллельное соединение динамических звеньев;

– feedback(w1, w2) – включение звена w2 в контур отрицательной обратной связи к w1;

– feedback(w1, w2) – включение звена w2 в контур отрицательной обратной связи звена w1;

– feedback(w1, w2, sign) – включение звена w2 в контур обратной связи звена w1 с указанием знака + или – (очевидно, feedback(w1, w2)=feedback(w1, w2,)1));

Пример:

> > w=tf([1 2], [1 2 2])

Transfer function:

s + 2

——————

s^2 + 2 s + 2

> > w1=tf([1 2 3], [1 2 2])

Transfer function:

s^2 + 2 s + 3

——————

s^2 + 2 s + 2

> > w2=series(w, w1)

Transfer function:

s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6

——————————————

s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4

> > w3=parallel(w, w1)

Transfer function:

s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10

————————————————

s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4

> > w4=feedback(w, w1)

Transfer function:

s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4

————————————————

s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10

Для проверки правильности проведенных преобразований необходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквивалентную схему в MatLab Simulink. Задача считается решенной, если при подаче на вход обоих схем одинаковых тестовых воздействий наблюдаются одинаковые выходные сигналы.

Задания к работе

Выполнить преобразование заданного варианта структурной схемы САУ в эквивалентную ПФ двумя способами:

– непосредственно используя правила табл. 3.1;

– используя представление в виде сигнального графа и формулу Мейсона.

Варианты заданий приведены в Приложении табл. 1.

В качестве звеньев W 1 – W 3 использовать типовые динамические звенья.

Отчет и защита работы

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

• титульный лист;
• цель и задачи работы;

• описание всех этапов преобразования исходной схемы и получающихся промежуточных результатов, включающее моделирование реакции схемы на типовое воздействие (скачок) до и после преобразования;
• сигнальный граф системы, описание путей, контуров и расчет ПФ по формуле Мейсона;
• схемы экспериментов в Simulink MatLab и протокол команд MatLab.
• графики переходных процессов при подаче на вход исходной и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий воздействий (импульс, скачок, синусоида).

Защита работы включает доклад студента и его ответы на вопросы по теме лабораторной работы.

Контрольные вопросы

1. Что такое передаточная функция системы управления и в каком виде система может быть описана?

2. Как обозначаются элементы структурных схем?

3. Объясните основные правила преобразования структурных схем сис­тем управления.

3.4. Лабораторная работа №4 «Построение и изучение частотных характеристик интегратора»

Цель работы: исследование интегратора и освоение техники построения частотных характеристик в программе Vissim

1. Краткие теоритические сведения о частотных характеристиках

Частотные характеристики это один из способов описания линейных систем и звеньев. Характеристики могут быть представлены не только аналитически, но и графически, что делает их использование понятным и наглядным.

1.1. Комплексный коэффициент передачи

Комплексный коэффициент передачи W(jω) (ККП) это обобщение понятия " коэффициент усиления" безинерционного звена на инерционные звенья. Безинерционное звено это простейшая модель, существенная идеализация реального устройства. Такое звено усиливает или ослабляет сигнал в некоторое число раз независимо от того, как быстро он изменяется. Более точная модель реальных элементов учитывает их инерционность, которая проявляется в том, что чем быстрее изменяется подаваемый на звено сигнал, тем меньше он усиливается, а м.б. и ослабляется. Кроме того сигнал еще и задерживается.

Рис.4.1. Безинерционный усилитель одинаково усиливает как низкочастотные, так и высокочастотные сигналы и не задерживает их по времени (фазе). Красная линия – входной сигнал звена, а синяя – выходной. Амплитуды и начальные фазы входной и выходной синусоид не изменяются с увеличением частоты от 1 до 4 Гц

Формально комплексный коэффициент передачи (ККП) W(jω) связывает спектр выходного сигнала Y(jω) со спектром входного X(jω):

(4.1)

Спектр сигнала состоит из набора синусоид, м.б. бесконечного или даже непрерывного. Каждая синусоида начинается в минус бесконечности, поэтому там же начинается и заканчивается переходный процесс, вызванный подачей на звено синусоиды. Таким образом, с точки зрения ККП реакция звена на сложный сигнал вычисляется как установившийся режим. Подробнее об этом можно посмотреть в [1].

Выражение (4.1) для синусоидального сигнала x(t) = X_m sin(ω t+φ _x) представляется особенно наглядно:

(4.2)

Следующий за ККП уровень обобщения понятия " коэффициент усиления" это передаточная функция.

1.2. Частотные характеристики линейных звеньев и систем

Комплексное равенство (1.2), связывающее спектры входного и выходного синусоидальных сигналов, может быть эквивалентно представлено двумя действительными равенствами:

(4.3)

(4.4)

Первое уравнение (4.3) позволяет найти амплитуду Y_m выходного синусоидального сигнала, а второе (4.4) – начальную фазу выходного сигнала φ _y.

Зависимость коэффициента усиления |W(jω)| (модуля комплексного коэффициента передачи) звена от частоты ω усиливаемого синусоидального (и только синусоидального) сигнала называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) звена.

Зависимость аргумента φ _w(ω) комплексного коэффициента передачи звена (фазовой задержки синусоидального сигнала, вносимой звеном) от частоты ω синусоидального (и только синусоидального) сигнала, подаваемого на звено, называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ) звена.

Частотные характеристики представляются аналитически (формулами) и графически. Графики частотных характеристик представляются в натуральном или, что чаще, в логарифмическом масштабах, когда величина усиления выражается в децибелах (дБ):

(4.5)

и диапазоны изменения усиления и частоты на графике значительно шире по сравнению с натуральными (рис. 4.2). Усиление (модуль ККП) реальных и реализуемых устройств начиная с некоторой частоты уменьшается и стремится к нулю. ФЧХ таких устройств имеют отрицательный наклон (первую производную) и стремятся к отрицательным значениям, что обусловлено задержкой сигналов, проходящих эти устройства.

Соотношение крат и децибелов приведено в таблице

Эти значения необходимо и полезно запомнить.

Изменение частоты в 10 раз – декада. Например, 3 декады это изменение частоты в 1000 раз.

Рис.4.2. Примеры амплитудно- и фазо-частотных характеристик звеньев, представленных в натуральном (АЧХ и ФЧХ) и логарифмическом (ЛАЧХ и ЛФЧХ) масштабах.

Годограф комплексного коэффициента передачи еще один из способов графического представления частотных характеристик. Годограф строится как параметрическая кривая на комплексной плоскости, где параметром является частота. Годограф ККП содержит ту же самую информацию, что и АЧХ и ФЧХ или ЛАЧХ и ЛФЧХ вместе взятые.

Годограф ККП это линия, которую пробегает на комплексной плоскости конец вектора ККП при изменении частоты от нуля до бесконечности. Это годограф ККП колебательного звена. Он начинается в точке (1, 0j) и при изменении частоты от нуля до бесконечности, пройдя по четвертому, а затем по третьему квадрантам, приходит в начало координат

Рис.4.3. Пример годографа ККП.

Рис.4.4. Изменение годографа комплексного коэффициента передачи колебательного звена в зависимости от декремента затухания δ, изменяющегося от 0.5 до 0.1. С уменьшением декремента годограф «разбухает», колебательные свойства звена проявляются все более ярко