Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Z-преобразование
Мощным математическим аппаратом исследования дискретных систем и решения разностных уравнений является Z-преобразование. Оно играет ту же роль, что и преобразование Лапласа при исследовании непрерывных систем и решении дифференциальных уравнений. Для некоторой решётчатой функции , определённой при , Z-преобразование записывают через дискретное преобразование Лапласа с использованием аргумента : . Для смещённых решетчатых функций вводят модифицированное Z-преобразование: . Отметим, что в Z-преобразованиях вводится единичная импульсная решетчатая функция: играющая при исследовании дискретных систем такую же роль, как -функция при исследовании непрерывных систем. Так же как при использовании преобразований Лапласа, практическая работа с Z-преобразованиями упрощается с применением таблиц таких преобразований для часто встречающихся функций, часть из которых приведена в табл. 8.1 [1], где Свойства (основные) Z-преобразования: 1. Свойство линейности: 2. Теорема запаздывания: 3. Начальное значение оригинала: 4. Конечное значение оригинала: 5. Изображение свертки двух решетчатых функций: Обратный переход от изображения F(z) к оригиналу в символической форме записывают как обратное Z-преобразование: . Таблица 8.1
Эта задача не представляет трудностей, если изображение является табличным. При более сложном изображении оно обычно заменяется суммой дробей первой степени. Например, если изображение есть отношение двух многочленов: причём степень числителя не больше степени знаменателя, а корни знаменателя простые, то его можно записать в виде: где - производная по Z; Zi - корни знаменателя (i = 1, 2, …e). Отсюда, воспользовавшись табл. 8.1, получим: Для нахождения оригинала часто применяют также разложение в ряд Лорана: Т.к. по определению Z-преобразования: то коэффициенты ряда Лорана совпадают с соответствующими значениями оригинала, т.е. и т.д. Наиболее удобным приёмом разложения дробно-рациональных функций в ряд Лорана является деление числителя на знаменатель.
|