Синтез оптимальной структуры системы управления

Первым этапом проектирования системы управления является выбор по заданным показателям качества работы системы и известным характеристикам сигнала и помехи её структурной схемы или передаточной функции, обеспечивающих в некотором смысле наилучшую (оптимальную) характеристику системы. Спроектированную таким образом систему называют оптимальной. Очевидно, что передаточная функция оптимальной системы зависит не только от характеристик сигнала и помехи, но и от выбранного критерия оптимальности (от выбранной оценки качества работы). При этом различным критериям оптимальности при одних и тех же характеристиках сигнала и помехи соответствуют различные передаточные функции оптимальных систем управления.

После определения оптимальной передаточной функции проектируемой системы начинается второй, не менее важный этап разработки - реализация этой функции в виде технического устройства управления.

К современным системам управления предъявляют различные требования, которые помимо технических (точность работы, параметры переходного процесса и др.) включают требования по сложности, стоимости, надёжности условий эксплуатации систем. Учесть эти требования при выборе критерия оптимальности не удаётся. Во многих случаях оптимальная передаточная функция системы, найденная по выбранному критерию оптимальности, не удовлетворяет ряду других не учтённых показателей качества работы системы управления. Поэтому приходится корректировать параметры передаточной функции, с тем чтобы удовлетворить требованиям, не учтённым в основном показателе качества работы системы. По этим причинам технические системы обычно не являются в строгом смысле оптимальными системами, их параметры несколько отличаются от оптимальных значений, т.е. спроектированная система управления является квазиоптимальной.

Таким образом, для синтеза системы управления необходимо:

- определить статистические характеристики сигналов и помех, действующих на проектируемую систему;

- сформулировать назначение системы;

- выбрать на основании заданных технических требований к качеству работы системы критерий оптимальности;

- найти оптимальную передаточную функцию проектируемой системы управления;

- уточнить способы включения корректирующих устройств и найти их передаточные функции;

- разработать корректирующие устройства, присоединение которых к объекту управления позволяет получить систему управления с оптимальной передаточной функцией.

При синтезе большинства систем управления достаточно для описания сигналов и помех ограничиться определением их математического ожидания и корреляционных функций или их спектральных плотностей.

Сформулировать назначение проектируемой системы управления - значит, установить, как выходной сигнал должен быть связан с входным. Это можно описать с помощью желаемого оператора преобразования входного сигнала, который определяет идеальный выходной сигнал проектируемой системы управления:

(5.3)

где - желаемая передаточная функция преобразования сигнала.

Если желаемая передаточная функция равна единице, то задачу отыскания оптимальной передаточной функции называют задачей оптимального сглаживания или фильтрации.

Задачу отыскания оптимальной передаточной функции системы управления при

(5.4)

называют задачей оптимального статистического упреждения, а при

(5.5)

- задачей оптимального статистического дифференцирования и интегрирования.

Выражения (5.4) и (5.5) соответствуют передаточным функциям «идеальных систем», осуществующих заданное преобразование сигналов без погрешностей.

Рис. 5.2. К определению суммарной ошибки систем

Очевидно, что из-за действия помех сигнал на выходе системы (рис. 5.2) y (t) отличается от сигнала на выходе «идеальной системы» y_ж (t). Для оценки приближения сигнала y (t) к y_ж (t) используются различные показатели. Наибольшее распространение нашел критерий среднеквадратической ошибки

(5.6)

где - ошибка системы управления.

При синтезе систем управления оптимальной считается система, в которой среднеквадратическая ошибка (5.6) достигает минимального значения. Широкое применение критерия среднеквадратической ошибки объясняется тем, что оптимальная система, спроектированная из условия минимума этой ошибки, получается линейной. Кроме того, критерий (5.6) удобен с математической точки зрения. В дальнейшем при синтезе оптимальных систем будем использовать критерий среднеквадратической ошибки (5.6).

Найти оптимальную передаточную функцию системы несложно. Трудности, возникающие при этом, можно преодолеть с помощью современных ЭВМ. Проектирование оптимальных систем управления имеет смысл только в том случае, когда априорные сведение о статистических характеристиках сигнала и помехи достоверны и есть уверенность в том, что в процессе работы они не изменяются. В реальных системах эти условия выполняются не всегда, поэтому в инженерной практике стремятся не к оптимальной структуре системы, а к более простой, параметры которой выбирают из условия минимума среднеквадратической ошибки.

В ряде случаев достаточно бывает обеспечить полосу пропускания проектируемой системы, приблизительно равную полосе пропускания оптимальной системы, не добиваясь полного совпадения частотных характеристик оптимальной и реальной систем. Это позволяет обеспечить в проектируемой системе среднюю квадратическую ошибку, мало отличающуюся от ошибок в оптимальной системе, с одновременным удовлетворением остальных требований к системе. При таком подходе к проектированию оптимальная структурная схема системы управления используется как эталонная, позволяющая получить предельно достижимую среднюю квадратическую ошибку.

Ранее отмечалось, что важным этапом проектирования является техническая реализация системы управления по найденной оптимальной передаточной функции. Трудности этого этапа связаны с тем, что, во-первых, характеристики объекта управления проектируемой системы известны лишь приблизительно; во-вторых, для реализации оптимальной структурной схемы системы, как правило, недостаточно информации о входных и выходных сигналах (в ряде случаев требуется информация о производных этих сигналов), и в-третьих, для технической реализации устройств такой системы может потребоваться разработка сложных электронных приборов. Указанные особенности нужно учитывать во время проектирования систем управления при случайных воздействиях.

Сформулируем постановку задачи синтеза оптимальных систем. На вход проектируемой системы действуют стационарные сигнал и помеха, автокорреляционные функции которых известны. Математические ожидания сигнала и помехи равны нулю. Жалаемый выходной сигнал синтезируемой системы определяется заданной частотной характеристикой. Необходимо найти передаточную функцию системы, при которой суммарная средняя квадратическая ошибка системы (рис. 5.2) минимальна:

(5.7)

где - ошибка системы;

- желаемый выходной сигнал системы;

- реальный выходной сигнал системы.

Рассмотрим задачу оптимальной фильтрации. В этом случае

,

т.е. (5.8)

Согласно (5.7) дисперсия ошибки

. (5.9)

Дисперсию выходного сигнала синтезируемой системы найдём аналогично дисперсии ошибки системы (4.12):

(5.10)

где - импульсная переходная (весовая) функция системы;

- автокорреляционная функция суммарного входного сигнала ;

- помеха.

Таким же образом получим

(5.11)

где - взаимная корреляционная функция сигнала с суммарным воздействием.

Подставив выражения (5.10) и (5.11) в (5.9), определим

(5.12)

Синтез оптимальной системы сводится к нахождению импульсной переходной (весовой) функции из (5.12). Для решения этой задачи дадим вариацию импульсной (весовой) переходной функции

(5.13)

где - искомая оптимальная импульсная переходная весовая функция проектируемой системы;

- вариация импульсной переходной функции.

Импульсную переходную (весовую) функцию, минимизирующую дисперсию ошибки (5.12), определим из условия:

(5.14)

Подставим формулу (5.13) в (5.12). Тогда оптимальная импульсная переходная функция проектируемой системы с учетом (5.14) должна удовлетворять уравнению

(5.15)

Так как неоптимальная импульсная переходная функция - функция произвольная, то уравнение (5.15) выполняется только в том случае, когда

(5.16)

где переменная заменена на .

Выражение (5.16) называют уравнением Винера-Хопфа.

Средняя квадратическая ошибка выделения сигнала из воздействия смеси сигнала и помехи в установившемся режиме – постоянная величина, её значение определяется из выражения (5.12), в котором вместо нужно подставить . Тогда с учётом уравнения (5.16)

(5.17)

Решение уравнения Винера-Хопфа во временной области является сложной задачей. Значительно проще решить эту задачу в частотной области, т.е. найти оптимальную частотную характеристику системы. С этой целью применим к уравнению (5.16) преобразование Фурье. В результате получим

(5.18)

Из этого уравнения найдем оптимальную частотную характеристику:

(5.19)

где - спектральная плотность суммарного сигнала на входе проектируемой системы;

- взаимная спектральная плотность сигнала с суммарным сигналом;

- функция, все полюсы которой на плоскости комплексного переменного расположены в левой полуплоскости;

- функция, все полюсы которой расположены в правой полуплоскости.

В общем случае

;

(5.20)

Если сигнал и помеха некоррелированы, то

(5.21)

Из выражений (5.19)…(5.21) следует, что оптимальная частотная характеристика выделяет составляющие сигнала на частотах, на которых его спектральная плотность сравнительно велика, и ослабляет составляющие сигналы на частотах с максимальной спектральной плотностью помехи.

С учетом оптимальной частотной характеристики минимальное значение дисперсии ошибки для некоррелированных сигнала и помехи в соответствии с выражением (4.14)

. (5.22)

Таким образом, если спектры сигнала и помехи не перекрываются, то средняя квадратическая ошибка может быть равна нулю.

Спектральная плотность является четной функцией относительно частоты , поэтому полюсы характеристики (5.19) расположены на плоскости как слева, так и справа от мнимой оси. Поэтому найденная оптимальная частотная характеристика (5.19) соответствует физически нереализуемой неустойчивой системе. Дальнейший синтез оптимальной системы сводится к определению реализуемой оптимальной частотной характеристики, наиболее близкой к полученной нереализуемой (5.19).

Реализуемая оптимальная частотная характеристика определяется выражением

(5.23)

где операция […]⁺ означает выделение слагаемых, полюсы которых на плоскости комплексного переменного расположены слева от мнимой оси.

В случае, часто встречающемся в инженерной практике, когда функция

(5.24)

является дробно-рациональной функцией относительно частоты, выделение слагаемых с полюсами, расположенными слева от мнимой оси, осуществляется путем разложения (5.24) на простые дроби:

(5.25)

где

(5.26)

где - полюсы выражения (5.24).

Дисперсия ошибки в системе с частотной характеристикой (5.23) будет больше значения, определяемого по выражению (5.22) и найденного без учета физической реализуемости оптимальной системы. Однако среди реализуемых устройств система управления с характеристикой (5.23) обеспечивает наименьшее значение среднеквадратической ошибки выделения сигнала из его смеси с помехой.

Согласно (5.23) передаточная функция оптимальной проектируемой системы

. (5.27)

Тогда передаточная функция последовательного корректирующего устройства, включаемого в цепь сигнала ошибки,

(5.28)

где - передаточная функция разомкнутой оптимальной системы;

- передаточная функция исходной части, составленная из функционально необходимых устройств системы.