Частотные показатели качества

Очевидно, что такие показатели качества, как перерегулирование и быстродействие определяются запасами устойчивости системы, т.е. её колебательностью. Поэтому эти показатели качества можно заменить частотными показателями качества переходного процесса:

- запасы устойчивости по амплитуде и фазе;

- показатель колебательности.

Рис. 3.9. К определению запасов устойчивости замкнутой системы

Запасы устойчивости замкнутой системы принято определять исходя из критерия устойчивости Найквиста (см. 3.1.3). Запасы устойчивости замкнутой системы по фазе и амплитуде (часто запас устойчивости по амплитуде в литературе называют запасом устойчивости по модулю) характеризуют удалённость АФХ разомкнутой системы от критической точки с координатами –1, j0.

Запасом устойчивости по амплитуде А (рис. 3.9) называют расстояние между критической точкой (-1, j0) и ближайшей к ней точкой пересечения АФХ с отрицательной абсциссой, т.е. , где . Для хорошо демпфированных АС .

Запас устойчивости по фазе DY характеризует удалённость точки АФХ, соответствующей частоте среза ω _с от критической точки (-1, j0). . Для хорошо демпфированных систем автоматического управления запас по фазе лежит в пределах 30⁰…60⁰.

В соответствии с заданными значениями А и Y может быть построена запретная область АФХ проектируемой системы (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Запретная область АФХ проектируемой системы

Очевидно, что вне заштрихованной области запасы устойчивости проектируемой системы не ниже заданных.

Значения запасов устойчивости по фазе и амплитуде (модулю) весьма просто определяются по логарифмическим частотным характеристикам передаточной функции разомкнутой системы. Запас по фазе DY определяется на частоте среза w_c [ дБ ] по отклонению фазового сдвига разомкнутой системы от -180° и равен . Если DY> 0, то полученное значение DY и есть величина запаса устойчивости по фазе. Если DY< 0, то запасы по фазе отсутствуют, следовательно, система неустойчивая.

Запасы устойчивости по амплитуде (модулю) определяются на частоте w_р, при которой фазовый сдвиг разомкнутой системы равен -180°. Если дБ , то система устойчива, а запас устойчивости по амплитуде (модулю) численно равен абсолютной величине | дБ |. Если дБ , то запасы устойчивости по амплитуде (модулю) отсутствуют, а замкнутая система неустойчивая.

Как видно из изложенного выше, логарифмический критерий устойчивости замкнутых систем опирается на критерий устойчивости Найквиста и характеризует степень удалённости АФХ разомкнутой системы от критической точки –1, j 0. В заключение отметим, что все обозначения частот, использованные выше для логарифмического критерия устойчивости, соответствуют рис. 3.9.

Показатель колебательности. Более удобно пользоваться показателем колебательности, который определяется запасами устойчивости.

Рис.3.11. АЧХ замкнутой системы	Рис.3.12. К вопросу проектирования системы с заданным М

Показателем колебательности М_max (рис. 3.11) называют абсолютный максимум АЧХ замкнутой системы, отнесённый к значению АЧХ при ω = 0. Для астатических систем и тогда (рис. 3.11). Рекомендуемые значения M_max = 1, 1…1, 5. Показатель колебательности можно определить также по АФХ разомкнутого контура. Обозначим:

, тогда .

Возводя в квадрат правую и левую части и освобождаясь от знаменателя, после несложных преобразований получим: , где , , а это уравнение окружности с центром в точке (-С, j0).

Задаваясь для М рядом значений, получим семейство окружностей, радиус которых убывает с ростом М (см. рис. 3.12, где М₁< М₂< М₃< М₄).

Если в этой же системе координат построить АФХ разомкнутой системы, то М_max определится значением М, соответствующим той окружности, которой касается АФХ системы. Отсюда выполнение условия заданного М (АФХ не заходит вовнутрь окружности заданного М).

В дальнейшем М_max будем обозначать просто через М. Применение показателя колебательности системы особенно эффективно при использовании ЛАХ. Можно показать [4], что система будет устойчива, если её ЛАХ в районе частоты среза имеет наклон на определённом участке – 20 дБ/дек. Протяжённость этого участка и его положение относительно зависят от значения показателя колебательности М.

Доказано [4], что система будет обладать заданным показателем колебательности М, если протяжённость (h) асимптоты ЛАХ с наклоном 20 дБ/дек, пересекающей ось частот, равна:

, (3.12)

причём положение этой асимптоты относительно оси частот определяется координатами (рис. 3.14):

; , (3.13)

где L₂ и w_ж2 – соответственно ордината и частота начала участка с наклоном – 20 дБ/дек;

L₃ и w_ж3 – соответственно ордината и частота конца участка с наклоном – 20 дБ/дек.

Можно показать [4], что колебательность системы связана с запасом её устойчивости по фазе выражением:

, (3.14)

где ψ – запас устойчивости по фазе.

Таким образом, зная величину запаса устойчивости по фазе замкнутой системы, всегда можно определить её показатель колебательности, т.е. колебательность и наоборот, зная показатель колебательности, можно определить запасы устойчивости по фазе замкнутой системы автоматического управления.