Использование логарифмических частотных характеристик

Метод логарифмических частотных характеристик позволяет заменить трудоёмкие расчёты простыми графическими построениями, легко выполняемыми при помощи специальных шаблонов. Помимо значительного сокращения объёма расчётной работы, метод логарифмических частотных характеристик обладает ещё целым рядом существенных преимуществ. К таким преимуществам относятся возможность использования экспериментально снятых частотных характеристик, возможность оценки влияния отдельных параметров системы без проведения всего расчёта вновь, простота синтеза корректирующих звеньев и др.

Суть данного метода заключается в следующем. Предположим, что передаточная функция динамической системы (звена, цепи) имеет вид:

.

Сделав подстановку получим частотную передаточную функцию в виде:

Требуется построить годограф - частотную характеристику. Если при этом использовать обычный метод представления в виде и вычисления её при различных значениях w, то необходимо выполнить весьма большую расчетную работу. Для упрощения решения задачи возьмём десятичный логарифм от , представленной в показательной форме, и для перехода к измерению модуля в децибелах умножим его на 20.

В результате получим:

;

График зависимости от называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАХ) функции , а график зависимости от - логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФХ) этой функции.

Как видно из последнего выражения, ЛАХ функции представляет собой сумму ЛАХ, входящих в неё элементарных множителей. Следовательно, при вычислении ЛАХ функции действие умножения заменяется действием сложения, что является важным преимуществом метода логарифмических частотных характеристик.

При построении графиков логарифмических амплитудной и фазовой характеристик по оси абсцисс откладывается логарифм частоты в линейном масштабе, в результате чего в отношении шкала вдоль оси абсцисс получается равномерной. Отрезок логарифмической шкалы, соответствующий увеличению или уменьшению w в 10 раз, называется одной декадой, а отрезок соответствующий увеличению или уменьшению w в 2 раза, – одной октавой. Очевидно, что, длина отрезка, представляющего декаду или октаву, не зависит от частоты w.

По оси ординат откладываются децибелы при построении логарифмической амплитудно-частотной характеристики и градусы – при построении логарифмической фазо-частотной характеристики. Ввиду того, что логарифмическая шкала на оси абсцисс не имеет точки, для которой , ось ординат на графиках логарифмических амплитудной и фазовой характеристик может пересекать ось абсцисс в любой точке.

Таким образом, метод построения логарифмических частотных характеристик состоит в том, что амплитудную и фазовую частотные характеристики исследуемой динамической системы изображают графически в виде непрерывных кривых, причём строят эти кривые в логарифмическом масштабе (ЛАХ и ЛФХ).

Кроме того, ЛАХ строят приближённо в виде отдельных прямолинейных отрезков, называемых асимптотами ЛАХ, что существенно упрощает построение этой характеристики. Такую ЛАХ называют асимптотической. ЛАХ выражают в децибелах: [дБ].

Минимально-фазовые системы и звенья. Минимально-фазовой называют такую линейную динамическую систему, у которой корни характеристических уравнений, соответствующих числителю и знаменателю передаточной функции этой системы, имеют отрицательные вещественные части. В таких системах имеется однозначная связь между ЛАХ и ЛФХ.

Конкретное применение метода логарифмических частотных характеристик будет рассмотрено ниже в 2.4, 3.2.2, 3.3.

Вопросы для самопроверки

1. Перечислите математические методы описания линейных непрерывных систем управления.

2. Какие характеристики систем управления можно получить, используя временные методы их математического описания?

3. Какие характеристики систем управления можно получить, используя частотные методы их математического описания?

4. Что называется передаточной функцией системы автоматического управления (динамического звена)?

5. Что называется динамическим звеном (системой)?

6. Записать связь между весовой и передаточной функциями системы.

7. Как, зная передаточную функцию системы управления, найти частотную передаточную функцию последней?

8. Передаточная функция динамического звена W(p), задающее воздействие q(t), найти выходную величину y(t).

9. Записать ЛАХ динамического звена с передаточной функцией W(p) = .