Использование переходной и весовой функций

Переходной функцией линейной динамической системы называют отклик этой системы на единичную ступенчатую функцию, определяемую как:

(1.10)

При известном дифференциальном уравнении переходная функция определяется так: или, переходя к изображению по Лапласу, получим , где . Найдя , переходим к . (1.11)

Переходная функция используется для оценки качества работы системы управления в переходном режиме.

Графическое изображение переходной функции называют переходной характеристикой. В зависимости от параметров системы уравнения её переходные характеристики имеют различный вид (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Переходные характеристики различных систем

Весовой функцией линейной системы называется отклик этой системы на единичную дельта-функцию, которая может быть определена как производная единичной ступенчатой функции:

(1.12)

причём . Дельта-функцию иногда называют функцией веса.

По определению (1.13)

Таким образом, весовая функция есть производная переходной функции.

Условие физической реализуемости системы: при t < 0. (1.14)

Поэтому в каждом частном случае, когда весовой функцией системы является некоторая конкретная функция времени f (t), которая определена для всех t в интервале (- ¥; + ¥) и не равна нулю при t < 0, при анализе системы накладывается ограничение:

или .

Таким образом, на весовую функцию физически реализуемой динамической системы принудительно накладывается ограничение (1.14).

Если известна весовая функция динамической системы, то процесс на выходе этой системы при произвольном входном воздействии х₁(t) определится интегралом Дюамеля, или интегралом сверки: (1.15)

где - переменная интегрирования.

Связь весовой функции динамической системы с передаточной функцией:

т.е. (1.16)

Соответственно .

Таким образом, передаточная функция есть изображение по Лапласу весовой функции и наоборот: весовая функция есть обратное преобразование по Лапласу передаточной функции.