Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Использование дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения широко используются при исследовании процессов в АС непрерывного действия, в особенности в системах нелинейных и в системах с переменными параметрами. Для линейных систем с постоянными параметрами развиты более удобные в практическом отношении частотные методы. Метод составления дифференциального уравнения системы управления состоит в следующем. Для каждого элемента системы составляется дифференциальное уравнение. Получается система уравнений. Методом исключения промежуточных значений, пользуясь системой уравнений, находим в конечном итоге общее дифференциальное уравнение системы управления в виде . Процедура исключения промежуточных переменных из системы дифференциальных уравнений достаточно трудоёмкая. Упрощение этой процедуры для линейных систем достигается применением передаточных функций. Пусть звено системы управления описывается дифференциальным уравнением (1.1)
Обозначим - оператор дифференцирования, тогда (1.2) Обозначим , получим (1.3) откуда (1.4) где (1.5) - передаточная функция, соответствующая дифференциальному уравнению (1.1). Выражение (1.4) является лишь сокращённой операторной формой записи выражения (1.1). Однако понятие передаточной функции с использованием алгебраизированного оператора дифференцирования и функции времени является нестрогим. Строгое определение передаточной функции можно получить с использованием преобразования Лапласа и комплексной переменной . Напомним, что взаимное соответствие между функцией времени x(t) и её изображением X(p) устанавливается с помощью прямого или обратного преобразований Лапласа и указывается знаком соответствия x (t) X (p). Функция X (p)называется изображением функции x (t) по Лапласу. Исходная функция x (t) по отношению к своему изображению X (p) является оригиналом. В дальнейшем оригинал будем обозначать маленькой (строчной) буквой, а его изображение – большой (прописной) буквой. Отметим некоторые основные свойства преобразований Лапласа: - Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, делённой на p: К . - Умножение функции времени x(t) на постоянное число K соответствует умножению на это же число её изображения (свойство линейности): . - Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций: , где . - Теорема дифференцирования (при нулевых начальных условиях): . - Теорема интегрирования: . - Умножение изображений (теорема свертки): . - Теорема запаздывания: . - Теорема смещения: . - Предельная теорема: , . Используем метод преобразования Лапласа для анализа систем управления. Пусть дано дифференциальное уравнение линейной динамической системы, описываемое выражением (1.1): , где m n. Преобразуем по Лапласу левую и правую части этого уравнения. Напомним, что если (1.6) где - комплексная переменная, есть изображение по Лапласу функции времени , то изображение по Лапласу k-ой производной этой функции при нулевых начальных условиях имеет вид Применив (1.6) к левой и правой частям (1.1), получим: или откуда (1.7) В выражении (1.7) введено обозначение (1.8) (1.8) есть выражение искомой передаточной функции линейной динамической системы. Таким образом, корректное с математической точки зрения определение передаточной функции можно сформулировать следующим образом. Передаточной функцией динамической системы (отдельного её участка или звена) называется отношение изображения по Лапласу выходной величины системы (участка, звена) к изображению по Лапласу входной величины системы (участка, звена). Как следует из выражений (1.1)…(1.8), передаточную функцию можно определить по известному дифференциальному уравнению. Для этого необходимо: 1. Записать (1.1) в операторной форме (1.2). 2. Заменить в (1.3) на , на по (1.6). 3. Написать выражение передаточной функции (1.8). 4. Найти изображение управляемой (выходной) величины, используя соотношение (1.7). Отметим, что в отличие от (1.4) выражение (1.7) не носит формального характера и является алгебраическим (а не символическим) соотношением, определяющим изображение через изображение . 5. Совершить обратный переход в область времени с помощью обратного преобразования Лапласа (1.9): (1.9) Практически обратное преобразование выполняют путём разложения на простейшие дроби с последующим использованием таблиц преобразований Лапласа [2, с. 320….321], [4, с. 427…428]. Преобразования Лапласа наиболее часто встречающихся функций приведены в таблице 1.1 [2, 4].
Таблица 1.1
|