Примеры полных ортонормальных функций

1. Комплексные гармонические функции

Для и комплексные гармонические функции ортогональны, следовательно, для получения ортонормальной системы их нужно нормализовать, то есть поделить на . Разложение

(1.3.21)

при

есть известное представление рядом Фурье функций, ограниченных на отрезке или периодических с периодом, равным 2. Это представление применимо для функций, заданных на любом конечном интервале, т.к. произвольный интервал можно отобразить в выбором подходящего масштаба по оси времени.

2. Полиномы Лежандра

Для и можно получить другую ортонормальную систему, применив процедуру Грама-Шмидта к последовательности . В результате получаются нормированные полиномы:

(1.3.22)

где - полиномы Лежандра. Эти полиномы можно также считать по формуле

(1.3.23)

или по рекуррентной формуле

. (1.3.24)

Полином имеет нулей, все они вещественны и находятся в интервале .

3. Полиномы Чебышева

Для и полиномы

(1.3.25)

где - полиномы Чебышева образуют ортонормальную систему.

Для удовлетворяют рекуррентной формуле

. (1.3.26)

Свойство полиномов Чебышева: из всех полиномов -ой степени, имеющих коэффициент при , равный 1, на интервале наименее отклоняются от нуля.

4. Функции Лагерра

Для и полиномы

(1.3.27)

образуют ортонормальную систему. Здесь - полиномы Лагерра, задаваемые формулой

. (1.3.27)

Они имеют вещественных нулей на и удовлетворяют рекуррентному соотношению

. (1.3.28)

Функции Лагерра имеют единичный вес и ортонормальны на

.

Они также могут быть получены применением процедуры Грама-Шмидта к последовательности . Функции Лагерра могут быть реализованы практически как импульсные реакции сравнительно простых физических цепей конечного порядка. Для этого их записывают как

. (1.3.29)

Функции имеют преобразование Лапласа вида

, (1.3.30)

откуда видно, что -ая функция Лагерра - это импульсная реакция цепи, один каскад которой имеет передаточную функцию , а последующих одинаковы с функцией , т. е. это фазовращатели, не изменяющик энергию сигнала. Это так называемый «трансверсальный» фильтр, импульсная реакция которого есть произвольная линейная комбинация функций Лaгерра.

5. Функции Лежандра

Подстановка преобразует интервал для величины в интервал для величины , поэтому из полиномов Лежандра можно получить еще одну систему функций, ортонормальных на ( - произвольный дествительный положительный параметр). Функции Лежандра

. (1.3.31)

Образуют ортонормальную систему на с единичным весом. Преобразования Лапласа от этих функций имеют полюсы при

6. Функции Чебышева

Преобразованием Чебышева получаем функции

, (1.3.32)

которые ортонормальны с весом на . Полюсы преобразования Лапласа получаются при

7. Функции Эрмита

Для и полиномы

(1.3.33)

образуют ортонормальную систему. - полиномы Эрмита, которые задаются в виде

(1.3.34)

или рекуррентной формулой

. (1.3.35)

Функций Эрмита

(1.3.36)

ортонормальны с единичным весом на и могут быть получены процедурой Грама-Шмидта к последовательности .

8. Функции Уолша

Для и можно построить полную ортонормальную систему функций типа типа «прямоугольных волн». Каждая -ая функция содержит прямоугольных волн, поэтому в обозначении функции удобно использовать два индекса: .

(1.3.37)

Эта система важна для практики, поскольку функции кусочно-постоянны и принимаю лишь два значения ( или ). Подобные сигналы могут быть легко получены с помощью двоичных логических схем. Перемножение таких сигналов для получения, скажем, скалярного произведения производится очень просто, с помощью ключа, изменяющего полярность и включаемого в нужные моменты времени. Заметим, что функции соответствуют обычным прямоугольным волнам. Мы можем перейти к соответствующей одноиндексной системе, упорядочив функции (1.3.37) так, чтобы -ая функция раз пересекала нулевой уровень на интервале (т.е. раз меняла знак). Это достигается при следующих обозначениях:

, (1.3.38)

где (рис. 1.8).

Рис. 1.9. Функции Уолша, пронумерованные в соответствии с количеством

перемен знака на интервале 0< t < 1