Дискретное представление сигналов

1.3.1. Подпространства из

Рассмотрим задачу сопоставления произвольному сигналу с ограниченной энергией его численного представления, т.е. нужно найти отображение в пространство , при этом выбирается исходя из требуемой точности и экономичности представления. Так как число измерений пространства бесконечно, а конечно, отображение должно быть типа «много в одно». Произвольный сигнал из не может быть представлен в отлично от всех остальных сигналов. Т.е. пространство разбивается на множества эквивалентности, каждому из которых взаимно однозначно соответствует некоторая точка в .

Обычно -мерное пространство выбирается следующим образом. Пусть - система линейно-независимых функций из , таких, что при условие

(1.3.1)

в том и только том случае, если при всех . Натянем на линейное подпространство . Следовательно, сигнал , принадлежащий , может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации :

, (1.3.2)

где образует искомое представление в . Так как есть пространство со скалярным произведением, то отношением между и может быть выражено в матричной форме:

или

, (1.3.3)

где . Отсюда можно найти :

. (1.3.4)

Для другого способа нахождения введём взаимные базисные функции

,

, (1.3.5)

причем

(1.3.6)

есть символ Кронекера. Следовательно, в целом для системы:

, (1.3.7)

тогда

. (1.3.8)

Заметим, что в обоих подходах нахождения коэффициентов разложения нужно вычислять обратные матрицы.

Теперь рассмотрим, как находить представление произвольного сигнала из , не принадлежащего . Для этого произвольному вектору поставим в соответствие вектор , наиболее близкий к . Таким образом, каждый вектор из порождает множество эквивалентностей:

, (1.3.9)

при этом все векторы из будут иметь одно и то же представление в виде набора чисел, совпадающее с представлением вектора .

Важное значение в теории сигнала имеет теорема проектирования, утверждающая, что для любого вектора существует единственный вектор , задаваемый разложением

, (1.3.10)

такой, что разность ортогональна ко всем векторам из и , где -любой другой вектор из .

Докажем это.

. (1.3.11)

Отсюда следует, что вектор ортогонален ко всем векторам в . Для того, чтобы показать, что - минимальная из всех , рассмотрим произвольный вектор :

(1.3.12)

Поскольку т.к. , средние слагаемые пропадают, и мы имеем

, (1.3.13)

откуда следует, что минимум достигается при .

Вектор называют ортогональной проекцией вектора на , а вектор погрешностью приближения вектора вектором .

Численно погрешность приближения характеризуется нормой

(1.3.14)

Заметим, что пространство является ортогональным дополнением пространства , т.к. любой вектор из может быть представлен единственным образом суммой вектора из и вектора из :

. (1.3.15)

Поэтому часто рассматривают как сумму подпространств и . Единственным общим элементом в них является нулевой вектор. Все эти понятия графически объясняются на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Иллюстрация ортогонального проектирования на конечномерное подпространство.

Рассмотрим пример. Пусть - пространство из , , натянутое на функции . Нужно в этом пространстве найти наилучшее приближение для прямоугольного импульса:

.

Можно записать

Следовательно, матрица имеет вид

,

.

Соответственно, взаимный базис есть:

,

.

Следовательно,

есть представление в . Приближение иллюстрируется на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Аппроксимация прямоугольного

импульса с помощью .