Теоретические сведения ко второму заданию

Задание рассчитано на исследование движения механической системы путем использования общих теорем динамики.

T-T ₀ = + ,

где T – кинетическая энергия механической системы в конечном положении (в конечный момент времени); T ₀– кинетическая энергия механической системы в начальном положении (в начальный момент времени); сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении ее из начального положения в конечное; сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении (при выбранных условиях во всех вариантах задания она равна нулю).

Кинетическую энергию Т механической системы в любой момент времени следует представить как сумму кинетических энергий входящих в нее твердых тел. При этом для поступательно движущихся тел

Т_B = J_x 𝜔 ²,

Т_nn = m + J_cx 𝜔 ²,

где m -масса тела; 𝑣 – скорость любой точки поступательно движущегося тела в рассматриваемый момент времени; J_x – момент инерции тела относительно оси вращения; 𝜔 – мгновенная угловая скорость вращения тела; 𝑣 _с – скорость центра масс тела в рассматриваемый момент времени; J_cx – момент инерции тела относительно оси Х, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости движения.

В заданиях сумма работ внешних сил на перемещении системы из начального положения в конечное будет складываться:

А_G = mgh,

где g – ускорение свободного падения; h- высота, на которую опускается или поднимается центр масс тела в поле силы тяжести (знак «+» выбирается, если тело опускается вниз, знак «-» - в противном случае);

б) из работ сил трения скольжения

где f –коэффициент трения скольжения тела; N₁ –модуль реакции трущихся тел; S – путь, пройденный телом при скольжении;

A_M = - M_c𝜑,

где M_c =δ N – момент сил сопротивления качению катка; δ – коэффициент трения качения катка; N – модуль нормальной реакции поверхности качения; 𝜑 – угол поворота катка при качении.

Подставляя найденные выражения кинетической энергии системы и суммы работ внешних сил в выражение (2.1), можно получить уравнение для определения скорости тела 1 в системе.

δ + δ = 0,

где δ – сумма элементарных работ всех действующих активных сил на любом возможном перемещении системы; δ – сумма элементарных работ всех сил инерции на любом возможном перемещении системы.

При этом действующие активные силы тяжести и силы реакции внешних связей определяются исходя из масс тел, представленных в задании.

^u = - m ,

приложенной к центру масс его и направленной противоположно направлению движения.

^u = - J_xℇ,

где J_x – момент инерции относительно оси вращения.

Силы инерции тела, совершающего плоскопараллельное движение, приводятся к вектору

^u = - J_с ε,

где _c – ускорение центра масс тела; ℇ – угловое ускорение тела; J_с – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости его движения.

Рассматриваемые в заданиях механические системы представляют собой совокупность твердых тел, поэтому для составления уравнения (2.8) нужно к действующим на каждое тело активным силам прибавить силы инерции и моменты пар сил инерции, а затем применить принцип возможных перемещений.

δ = δ S_k ,

δ = - δ S_k

(здесь - угол между направлениями сил и перемещения).

δ = δ 𝜑 _k,

δ = δ 𝜑 _k,

где δ 𝜑 _k – возможный угол поворота тела.

δ S_{k k} + δ 𝜑 _k - δ S_k - δ 𝜑 _k = 0.

Установив зависимости между δ S_k и δ 𝜑 _k и выразив эти величины через какую-нибудь одну, можно существенно упростить выражение (2.16) и подготовить его к выполнению второго пункта задания.

Для выполнения третьего пункта задания следует воспользоваться принципом Даламбера, заключающимся в том, что при движении механической системы геометрическая сумма внешних, внутренних сил и сил инерции равна нулю для каждой точки механической системы.

При этом желательно придерживаться следующего порядка:

- изобразить на рисунке каждое тело системы в отдельности, приложить к ним силы тяжести, реакции внешних и внутренних связей и силы инерции;

- используя найденные в предыдущем пункте ускорения, вычислить модули сил инерции и величины моментов сил инерции каждого из нарисованных тел;

- составить уравнения кинетостатики для каждого тела.

В результате получается замкнутая система уравнений, решение которой позволяет определить составляющие реакций внешних и внутренних связей.

Заметим, в вариантах 15, 16, 19, 27-29 для того, чтобы система уравнений стала замкнутой, необходимо дополнительно задать горизонтальную составляющую реакции оси вращения третьего тела N _{3 x}. Будем предполагать, что N _{3 x} =3 mg.

Четвертый пункт задания выполняется с помощью уравнений Лагранжа второго рода.

()- = Q,

где Т - кинетическая энергия механической системы; Q – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате q.

Выражение кинетической энергии было найдено в первом пункте данного задания, поэтому достаточно ее переписать, заменив 𝑣 ₁ на .

Обобщенную силу Q следует определять как величину, равную коэффициенту при приращении обобщенной координаты в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Для этого необходимо:

- изобразить на рисунке активные силы ;

- обобщенной координате q дать возможное перемещение δ _q;

- найти сумму работ нарисованных сил на данном возможном перемещении системы;

- выделить в выражении полной элементарной работы коэффициент при приращении обобщенной координаты.

Далее заметим, что задания составлены таким образом, что частная производная от кинетической энергии по обобщенной координате ∂ Т / ∂ q во всех вариантах равна нулю.

Вычислив частную производную ∂ Т / ∂ , затем – полную d(∂ Т / ∂ )/ dt производную по времени и подставив найденный результат вместе с обобщенной силой в уравнение (2.17), следует получить зависимость = = f ₁ (t), а после интегрирования - и S = f ₃ (t). Полученные зависимости необходимо изобразить графически в пределах 0< S< S ₁.