Совместности системы линейных алгебраических уравнений

На вопрос о совместности системы линейных алгебраических уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема (Кронекер-Капелли). Для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение - нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди этих решений есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной. При для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

Теорема. Для того чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

Запишем однородную систему в виде линейной комбинации столбцов:

Заметим, что в силу свойств решений линейной однородной системы ее решения образуют линейное подпространство в . Если система нетривиально совместна, ранг r матрицы системы меньше числа неизвестных n, то по теореме о базисном миноре матрица имеет r линейно независимых базисных столбцов, а остальные линейно выражаются через базисные

Подставим полученные выражения в равенство

и приведём подобные слагаемые

В силу линейной независимости базисных столбцов получим

Откуда следует равенство

Полученное выражение даёт общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.