Пример выполнения первого задания

Пример. Автомобиль – вездеход массой m =4000 кг, имея в точке А начальную скорость 𝑣 ₀=2 м/с, преодолевает препятствие ABCD в пересеченной местности, профиль которого характеризуется уклонами α ₁=15°, α ₂=10°, α ₃=5° (рисунок 1.1). Длина участка АВ составляет 20м, время движения по участку ВС t ₂=10с. Силы тяги по участкам составляют F ₁ =12кН, F ₂ = 0, F ₃ = 0, силы сопротивления движению R ₁=4 кН, R ₂=4, 8 кН, R ₃=6 кН. Определить скорости автомобиля в точках В и С, время движения t ₃по участку CD до остановки в точке D и его длину 𝑙 _3. Считая, что в точках перелома профиля В и С ударов не происходит, а скорость плавно изменяет свое направление, сохраняя модуль, автомобиль за время преодолевания препятствия ABCD не отрывается от поверхности последнего.

Рисунок 1.1 – Профиль препятствия

Решение

Рассмотрим движение автомобиля по участку АВ (рисунок 1.2).

На автомобиль действуют следующие внешние силы: сила тяжести , нормальная реакция грунта , сила внешнего сопротивления (сопротивление воздуха, сопротивление движению вследствие образования колеи и др.причин) ₁, сила тяги ₁ , являющаяся движущей силой.

Составим дифференциальное уравнение движения центра масс автомобиля в проекции на ось X:

где m – масса автомобиля; x – координата его центра масс; F_kx - проекции внешних сил на ось x, действующих на автомобиль.

Оно в развернутом виде:

m = F₁ – R₁ – G sinα ₁.

Откуда

Рисунок 1.2 – Расчетная схема для участка АВ

По исходным данным задачи на участке АВ:

x= 0, 105 t ²+ c ₁ t + c ₂ .

По начальным условиям движения на участке АВ при t= 0: ₀= =2 м/с, x₀ =0. Следовательно, подставляя в (1.5) и (1.6) эти данные, получим:

c ₁= ₀= 2 м/ с, c ₂=0.

x = 0, 105 t² + 2 t.

Уравнение (1.8) является уравнением движения автомобиля на участке АВ.

Определим время t ₁движения автомобиля по этому участку, использовав условие, что при t= t ₁, x = =20 м.

Следовательно, получим:

.

Или

.

Откуда

.

Следовательно

t ₁⁽¹⁾=7, 24 с, t ₁⁽²⁾= - 26, 28 с.

Из физических соображений t ₁ > 0, поэтому принимаем t ₁=7, 24 с.

Подставив значение t ₁ в уравнение (1.7), определим скорость автомобиля в точке В:

v_В = 0, 21 t + 2 = 0, 21∙ 7, 24+2 = 3, 52 м/с.

Рассмотрим движение автомобиля по участку ВС (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 - Расчетная схема для участка ВС

На данном участке на автомобиль действуют внешние силы: сила тяжести , нормальная реакция , сила внешнего сопротивления (по условию задачи сила тяги F₂ =0).

m(v_Cx – v_Bx) = ,

= (G sinα ₂- R ₂)Δ t = (G sinα ₂- R ₂) t ₂,

так как Δ t = t ₂- 0= t ₂.

Подставляя эти значения в (1.9), получим:

Откуда с учетом G = mg получим:

Подставляя в (1.12) численные значения, находим:

v_С =3, 52+(9, 81∙ 0, 174 – )∙ 10=8, 59 м/с.

Наконец, рассмотрим движение автомобиля по участку CD (рис.1.4).

Рисунок 1.4 – Расчетная схема для участка CD

На автомобиль действуют внешние силы: сила тяжести , реакция грунта ₃, сила внешнего сопротивления ₃ (по условию задачи сила тяги F₃ =0).

Дифференциальное уравнение движения центра масс автомобиля на участке CD:

m = = - R₃ - G sinα ₃.

Откуда с учетом G = mg

По данным примера R ₃=6кН, α ₃=5°.

= - 9, 81∙ 0, 087=-2, 35 м/с².

x = -1, 17 t ²+ c ₅+ c ₆ .

Постоянные интегрирования определяем по начальным условиям при t =0, ₀=𝑣 _С = 8, 59 м/с, x ₀=0.

Подставив эти значения в (1.15) и (1.16), получим:

c ₅=8, 59 м/с, c ₆= 0.

= -2, 35 t + 8, 59,

Время движения автомобиля на участке CDt = t ₃определяем из уравнения (1.17), пользуясь условием, что в точке D скорость v_D = 0, т.к. автомобиль останавливается. Из (1.17) получаем:

0 =- 2, 35 t ₃+8, 59.

Откуда t _₃ = = 3, 65 c.

Длину участка CD пути находим из уравнения (1.18), подставив в него время t=t ₃:

𝑙 = - 1, 17 t ² +8, 59 t = -1, 17∙ 3, 65+8, 59∙ 3, 65 = 15, 77 м.

Пользуясь результатами расчетов, построим в соответствующих масштабах графики движения, скорости и ускорения автомобиля для каждого участка дороги.

Для построения названных графиков на участке АВ используем соответственно выражения (1.8), (1.7) и (1.4). При этом учтем, что время t нахождения автомобиля на этом участке изменяется от 0 до 7, 24 с.

Для участка CD графики движения, скорости и ускорения определяются соответственно выражениями (1.18), (1.17) и (1.14). Заметим, при построении графиков отсчет времени t ведется с момента времени, соответствующего началу участка, то есть в точке С принимается t =0.

На участке ВС автомобиль движется равноускоренно с ускорением

𝑣 ₂ = 3, 52+0, 507 t.

При этом время t изменяется от 0 до 10с.

В соответствии с зависимостями (1.4), (1.7), (1.8), (1.14), (1.17), (1.18), (1.19), (1.20) и (1.21) формируем массивы данных для построения графиков движения, скорости и ускорения автомобиля (таблица.1.2).

Таблица 1.2 – Массив данных для построения графиков движения, скорости и ускорения автомобиля

На рисунках 1.5, 1.6 и 1.7 сверху показаны графики движений автомобиля соответственно на участках АВ, ВС, и CD. Ниже на тех же рисунках изображены для этих движений графики скоростей и ускорений.

а)

б)

в)

Рисунок 1.5 – Графики движения (а), скорости (б) и ускорения (в) автомобиля на участке АВ пути

а)

б)

в)

Рисунок 1.6 – Графики движения (а), скорости (б) и ускорения (в) автомобиля на участке ВС пути

а)

б)

в)

Рисунок 1.7 – Графики движения (а), скорости (б) и ускорения (в) автомобиля на участке CD пути

Автомобиль преодолевает участок АВ препятствия длины 20 м за 7, 24с.

Совершает движение равноускоренно с ускорением a ₁=0, 21 м/с². При этом скорость его возрастает от 2 до 3, 52 м/с.

На участке ВС движение также равнопеременное, ускорение равно 0, 507 м/с². На этом участке скорость автомобиля изменяется от 3, 52 м/с до 8, 59 м/с. Автомобиль преодолевает данный участок длины 60, 55 м за 10 с.

На участке CD сила тяги равна 0, автомобиль движется по инерции равнозамедленно до полной остановки в течение 3, 65 с. При этом длина участка пути составляет 15, 77м.

Содержание второго задания

Механическая система, состоящая из трех или четырех тел, приходит в движение под действием сил тяжести из состояния покоя. Начальное положение системы показано на рисунках 2.1-2.5. Учитывая трение скольжения тела 1 (варианты 1, 3-6, 8-10, 16, 18, 21, 24, 26, 27, 29, 30) и тела 4 (варианты 7, 12, 13, 22, 23, 25), а также трение качения тела 3 (варианты 2, 4, 6-8, 10, 12, 13, 17, 18, 22, 23, 25) и тела 4 (варианты 11, 14-16, 19, 20, 27-29), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить:

1. Скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный им путь станет равным S ₁.

2. Ускорения тел, движущихся поступательно и ускорения центров масс тел, совершающих плоскопараллельное движение; угловые ускорения тел, совершающих вращательное и плоскопараллельное движения.

3. Реакции внешних и внутренних связей системы.

4. Выбрав в качестве обобщенной координаты пройденный телом 1 путь S и составив уравнение Лагранжа второго рода, найти зависимости = f ₁(t), = f ₂(t) и S= f ₃(t). Полученные зависимости изобразить графически в пределах движения 0< S < S₁ заданной системы.

Необходимые для расчета данные приведены в таблицах 2.1 и 2.2. Блоки и катки, радиус инерции которых в таблицах не указаны, считать однородными сплошными цилиндрами.

В задании приняты следующие обозначения: m ₁, m ₂, m ₃, m ₄ – массы тел 1, 2, 3, 4; i _{2 x}, i _{3 x} – радиусы инерции тел 2 и 3 относительно осей, проходящих через их центры масс перпендикулярно к плоскости движения; f – коэффициент трения скольжения; δ – коэффициент трения качения тела.

R2 = R, r2 = r R3 = 0, 075R	R2 = R, r2 = r, r3 =1, 2r
R2 = R, r2 = r	R2 = R, r2 = r, r3 =0, 8r
R2 = R3 = R, r3 = r	R3 = R, r3 = r, R2 =0, 75R

Рисунок 2.1

R2 = 0, 8R, R3 =R, r3 = r	R2 = 0, 75R, R3 = R, r3 = r
R2 = R, R3 = 1, 2R, r3 = r	R2 = R, r2 = r, R3 = 0, 5R
R2 = R3 = R, r2 = r, R4 = 0, 75R	R2 = R, r2 = r, r3 = 0, 75r

Рисунок 2.2

R2 = 0, 75R, R3 = R, r3 = r	R2 = R, r2 = r, R4 =0, 8R
R2 = R, r2 = r, R3 = 0, 8R, r3 = 0, 9r, R4 = r	R2 = R, r2 = r, R3 = 1, 1R, r3 = r, R4 = 0, 4R
R2 = R, r2 = r, R3 = 1, 1R, r3 = 1, 25r	R2 = R, r2 = r, R3 = 0, 7R, r3 = 0, 75r

Рисунок 2.3

R2 = R, r2 = r, R3 = 0, 8R, r3 = 0, 9r, R4 = 0, 7R	R2 = R, r2 = r, R3 = 0, 8R, R4 = 0, 7R
R2 = R, r2 = r	R2 = R, r2 = r R3 = 0, 75R, r3 = 0, 5r
R2 = R, R3 = 0, 8R, r3 = r	R2 = R, R3 = 1, 2R, r3 = r

Рисунок 2.4

R2 = R, r2 = r, R3 = 0, 8R	R2 = R, r2 = r
R2 = R, r2 = r, R3 = 0, 8R, r3 = 0, 75r, R4 = 0, 7R	R2 = R, r2 = r, R3 = 0, 75R, r3 = 0, 7r, R4 = 0, 6R
R2 = R, r2 = r, R3 = 1, 2R, r3 =1, 2r, R4 = 0, 8R	R2 = R, R3 = 0, 75R, r3 = r

Рисунок 2.5

Таблица 2.1 – Исходные данные ко второму заданию

Вар. №	m1	m2	m3	m4	i2x	i3x	f	δ, м
	8 m	3 m	m	m	r	-	0, 2	-
	5 m	m	m	-	r	-	-	0, 001
	m	5 m	m	m	r	-	0, 2	-
	6 m	2 m	m	-		-	0, 1	0, 001
	4 m	m	m	m	-	1, 5	0, 15	-
	3 m	m	2 m	-	-	1, 2	0, 2	0, 001
	4 m	2 m	m	m	-		0, 15	0, 001
	4 m	m	2 m	-	-	1, 5	0, 1	0, 0015
	8 m	2 m	m	2 m	-		0, 1	-
	5 m	m	m	-	1, 5	-	0, 1	0, 001
	6 m	2 m	m	m		-	-	0, 0015
	4 m	2 m	m	m		-	0, 2	0, 0015
	6 m	m	2 m	4 m	-	1, 5	0, 1	0, 001
	2 m	m	2 m	m		-	-	0, 001
	6 m	3 m	2 m	m		1, 5	-	0, 0015
	8 m	2 m	3 m	m			0, 15	0, 001
	5 m	m	m	-			-	0, 002
	4 m	2 m	m	-			0, 1	0, 001
	6 m	3 m	2 m	m	1, 3	1, 2	-	0, 001
	m	2 m	m	m	1, 4	-	-	0, 0015
	4 m	2 m	m	m		-	0, 1	-
	3 m	2 m	2 m	m			0, 1	0, 001
	4 m	m	m	4 m	-		0, 1	0, 0005
	8 m	m	2 m	m	-		0, 15	-
	8 m	2 m	m	3 m		-	0, 15	0, 001
	8 m	m	2 m	2 m	1, 2	-	0, 1	-
	4 m	m	m	m			0, 15	0, 001
	m	3 m	2 m	m			-	0, 001
	m	3 m	4 m	m		1, 4	0, 1	0, 0005
	8 m	m	m	m	-	1, 2	0, 1	-

Таблица 2.2 – Дополнительные сведения ко второму заданию

№ группы		m, кг	r, м	s₁ , м
			0, 30	1, 0
	2, 25		0, 22	0, 8
			0, 25	0, 5
	1, 75		0, 35	0, 3
	2, 5		0, 20	0, 6
	2, 75		0, 27	0, 4