Алгебраїчні критерії стійкості.

До алгебраїчних відноситься критерій Вишнеградського, який застосовують для систем третього порядку, критерій Гурвіца, критерій Рауса і Гурвіца.

1876р. У відповідності з критерієм Вишнеградського для стійкості лінійної системи з характеристичним рівнянням:

необхідне виконання двох умов:

1) всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатними ;

2) добуток середніх коефіцієнтів повинен бути більше добутку крайніх -

.

В коефіцієнти характеристичного рівняння входять лиш значення параметрів системи, тому стійкість системи визначають тільки за параметрами, не розглядаючи стан системи.

1895р. Критерій Гурвіца формує умови стійкості автоматичних систем регулювання у вигляді визначень.

Для стійкості системи з характеристичним рівнянням першого порядку

,

необхідно і достатньо, щоб коефіцієнти характеристичного рівняння були додатними, тобто .

Для стійкості системи з характеристичним рівнянням другого порядку

необхідно і достатньо, щоб коефіцієнти характеристичного рівняння були додатними, тобто .

Для стійкості системи третього порядку з рівнянням

необхідно і достатньо, щоб коефіцієнти характеристичного рівняння були додатними, тобто , і визначник другого порядку

.

Для стійкості системи четвертого порядку з рівнянням

необхідно і достатньо, щоб коефіцієнти характеристичного рівняння були додатними, тобто , визначник і визначник

.

В загальному випадку, якщо система має характеристичне рівняння n-ї степені:

,

то умови стійкості за критерієм Гурвіца можна сформувати слідуючим чином: система стійка, якщо а_о> 0 і всі діагональні мінори визначника системи, складеного з коефіцієнтів рівняння також додатні:

.

Визначник Гурвіца складають з коефіцієнтів характеристичного рівняння слідуючим чином. По головній діагоналі послідовно виписують коефіцієнти характеристичного рівняння, починаючи з а_{1 .} Стовпці таблиці, починаючи з головної діагоналі, заповнюють вгору по зростаючим індексам, вниз - по спадаючим. Всі коефіцієнти з індексами нижче нуля і вище степені рівняння n замінюють нулями.

Зазначимо, що якщо кінцевий визначник прирівняти до нуля при умові додатних всіх попередніх визначників, то одержане рівняння буде відповідати границі стійкості. Наприклад, для системи третього порядку (n=3) границя стійкості визначається рівнянням:

.

З одержаного рівняння визначають допустимі межі зміни параметрів (а₀, …а₃), при яких система стійка.

Приклад 1.

Дано характеристичне рівняння системи (операторне)

2р³ + 5р² + 2р +3 = 0.

1. Виписуємо коефіцієнти рівняння .

2. Складаємо визначник системи:

,

до визначника застосуємо правило Гурвіца: для того щоб система була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти були більшими від нуля і всі діагональні визначники до порядку n-1 (де n - степінь рівняння) були також більшими від нуля:

;

.

Висновок: Так як виконуються всі умови правила Гурвіца система є стійкою.

Приклад 2

Дано характеристичне рівняння системи (операторне)

3р³ + 2р² + 3р +4 = 0.

1. Виписуємо коефіцієнти рівняння .

3. Складаємо визначник системи

до визначника застосуємо правило Гурвіца: для того щоб система була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти були більшими від нуля і всі діагональні визначники до порядку n-1 (де n - степінь рівняння) були також більшими від нуля:

;

.

Висновок: Так як не виконуються всі умови правила Гурвіца система є нестійкою.

Приклад 3

Дано характеристичне рівняння системи (операторне)

Р⁴ + 2р³ + 4р² + 5р +3 = 0.

1. Виписуємо коефіцієнти рівняння .

3. Складаємо визначник системи

,

до визначника застосуємо правило Гурвіца: для того щоб система була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти були більшими від нуля і всі діагональні визначники до порядку n-1 (де n - степінь рівняння) були також більшими від нуля:

;

,

Висновок: Так як виконуються всі умови правила Гурвіца система є стійкою.

1877р. Критерій Рауса застосовують рідше, ніж критерій Гурвіца, так як він складніший. З методикою визначення стійкості систем за критерієм Рауса можна ознайомитись опрацювавши, Бородин И.Ф. с.231…232.

Зі збільшенням порядку характеристичного рівняння збільшується число виконуючих розрахунків, тому алгебраїчні критерії застосовують для рівнянь не вище п'ятого порядку. Визначення стійкості систем вищих порядків виконують за частотними критеріями.