Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
Пусть заданы моменты инерции . Требуется найти , относительно осей, повернутых к заданным на угол (рис. 4.5). Рис. 4.5 Выберем произвольную площадку и выразим ее координаты в новых осях и через старые . Проектируем замкнутый четырехугольник на оси и . Так как проекция ломаной линии равна проекции замыкающей, находим: . В выражениях исключаем и тогда , откуда (4.5) Рассмотрим первые два уравнения из 4.5, складывая их почленно, получим: . Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей остается постоянной. Заметим, что , где — расстояние от элементарной площадки до точки 0. Таким образом , (4.6) где — полярный момент инерции. При помощи выражения 4.6 легко найти осевые моменты инерции для круга. . С изменением каждая из величин и меняется, а сумма их остается постоянной. Следовательно, существует такой угол , при котором один из элементов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение. Дифференцируя первое выражение из 4.5 по , и приравнивая производную нулю, найдем (4.7) При этом значение один из осевых моментов достигает максимального значения, другой - минимального, а центробежный равен 0. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Найдем величины главных моментов инерции. Для этого первые две формулы из 4.5 приведем к виду . Учитывая, что , . Исключаем при помощи 4.7 угол , получим для определения значений главных моментов инерции. . (4.8)
|