Взаємне розташування двох площин

Дві площини можуть бути паралельними або можуть перетинатися.

Рис. 5.10.

5.2.1. Взаємна паралельність двох площин

Дві площини взаємно паралельні, якщо дві прямі, які перетинаються в одній площині , відповідно паралельні двом прямим, які перетинаються в другій площині (, ).

Задачі 5.7, 5.8. Крізь точки А і В провести площини, що паралельні наданим (рис. 5.11, 5.12).

Рис. 5.11. Рис.5.12.

5.2.2. Перетин площин

Лінія перетину двох площин – це пряма, яка належить одночасно обом площинам, що перетинаються. Положення будь-якої прямої в просторі визначається положенням двох точок, які їй належать. Тому для побудови ліній перетину двох площин треба визначити будь-які дві точки, що належать одночасно обом площинам.

а) загальний спосіб побудови лінії перетину площин загального положення

Нехай задані дві довільно розташовані площини Ф і L. Необхідно побудувати лінію їх перетину (рис. 5.13).

Рис. 5.13.

Алгоритм розв’язання задачі:

1.Проводимо допоміжну площину – посередник Г, яка перетинає площини Ф і L.

2.Будуємо лінію перетину d площини Г з площиною Ф.

3.Будуємо лінію перетину с площини Г з площиною L.

4.Знаходимо точку перетину прямих d і с. Такою точкою буде точка К, яка належить шуканій лінії перетину двох площин. Проведемо другу допоміжну площину Г' і повторюємо цикл операцій по пунктам1–4. Знаходимо точку К', яка і буде другою точкою, що належить лінії перетину двох площин.

5.Якщо сполучити точки К і К', одержуємо шукану лінію перетину КК' площин Ф і Λ.

В якості площини посередника зручно вибирати проецюючі площини або площини рівня.

Задача 5.8. Побудувати лінію перетину двох площин.

Тепер розглянемо розв’язання цієї задачі на епюрі.

Припустимо, дано дві площини загального положення: одна задана двома паралельними прямими а і b, друга – трикутником АВС. Треба побудувати лінію їх перетину (рис.5.14).

Рис. 5.14.

Згідно з алгоритмом розв’язання задачі, проводимо першу площину посередник Г (площина горизонтального рівня). Фронтальні проекції лінії перетину цієї площини з заданими площинами збігаються з її фронтальною проекцією Г₂ º d₂ º l₂. Фронтальна проекція d₂ лінії перетину d визначається фронтальними проекціями 1₂ і 2₂ точок 1 і 2, в яких площина Г перетинає прямі а і b, що задають першу площину. Фронтальні проекції 5₂ і 6₂ точок 5 і 6 визначають фронтальну проекцію l₂ лінії перетину площини Г з площиною АВС. Якщо побудувати горизонтальні проекції 1₁; 2₁ і 5₁; 6₁ цих точок, одержимо горизонтальні проекції d₁ і l₁ прямих d і l, перетин яких утворює горизонтальну проекцію K₁ шуканої точки K. За належністю знаходимо фронтальну проекцію K₂ цієї точки. Для визначення другої точки K¢ проводимо другу площину горизонтального рівня Г¢ і повторюємо всі попередні побудови. Сполучаємо горизонтальні і фронтальні проекції знайдених точок, одержуємо горизонтальну K₁K₁¢ і фронтальну K₂K₂¢ проекції шуканої лінії перетину двох площин.

Задачі 5.9, 5.10. Побудова ліній перетину площин заданих слідами (рис. 5.15) (самостійно)

В задачі 5.9 (рис. 5.15б) двома точками, крізь які проходить лінія перетину площин, є точки перетину фронтальних та горизонтальних слідів цих площин, що видно на рис. 5.15а наочного зображення побудови лінії перетину. Тому, з’єднуючи відповідні проекції цих точок, знаходимо проекції лінії перетину площин.

В задачі 5.10 (рис. 5.15в) горизонтальні сліди площин паралельні, тому горизонтальна проекція лінії перетину буде паралельна до цих слідів, а фронтальна проекція лінії перетину буде відповідно паралельна до вісі .

б) Побудова лінії перетину площин у спосіб перетину прямої та площини

Цей спосіб полягає в тому, що знаходять точки перетину двох прямих, що належать одній площині, з другою площиною. Перетин прямої з площиною розглянуто в задачі на рис. 5.6, 5.7.

Рис. 5.15.

Задача 5.11. Побудувати лінію перетину наданих площин загального положення (рис. 5.16).

Рис. 5.16.

Площини, що перетинаються, задані, перша – фронтальним та профільним слідом , друга – прямими і , що перетинаються. Для побудови лінії перетину знаходимо дві точки перетину двох ліній однієї площини з іншою площиною. У нашому випадку це відповідно точки перетину та ліній і з площиною, що задана слідами. Алгоритм розв’язання приведено на прикладі задач 5.3 та 5.4 (рис. 5.6 та 5.7).