Задачи для решения. 4.2. Проверить, являются ли компланарными векторы (3; 3; 1), (-1; 1; 1) и (2; 4; -1).

4.1. Даны 3 вектора: (1; 2; -3), (2; 0; -2), (1; 1; 1). Выяснить, какую тройку – правую или левую – они образуют.

4.2. Проверить, являются ли компланарными векторы (3; 3; 1), (-1; 1; 1) и (2; 4; -1).

4.3. На векторах (2; 1; -4), и (3; 3; 2) как на рёбрах построен параллелепипед. Найти его объём.

4.4. Даны векторы: (2; 2; 3), (-1; 2; 1) и (0; ; 5). Найти значение " ", при котором векторы , и компланарны.

4.5. Лежат ли в одной плоскости точки A, B, C, и D, если

а) А(1; 2; -1); В(0; 1; 5); С(-1; 2; 1); D(2; 1; 3);

б) А(2; 1; -2); В(1; 2; 1); С(2; 3; 0); D(5; 0; -6);

в) А(-1; 2; 1); В(-3; 1; 2); С(3; -2; 2); D(3; -4; 3);

г) А(2; 3; -4); В(3; -1; -2); С(1; 4; 0); D(1; 3; 2);

д) А(0; -4; 1); В(-1; -21; 5); С(2; -2; 1); D(3; 3; 0).

4.6. Найти значение " ", при котором точки А(2; -1; 3); В(; 1; 1);
С(2; 1; 0) и D(-1; -1; 1) лежат в одной плоскости.

4.7. При каком значении " " , если (2; -1; ), и
(5; 0; 9)?

4.8. При каком значении " " , если (1; -2; ), (1; 3; -4) и
?

4.9. При каком значении " " , если (2; -1; ), (2; -2; 1) и
?

4.10. При каком значении " " тройка векторов (-2; 3; ), (1; 1; 2) и
(5; 0; 2) будет левой и объём параллелепипеда, на них построенного, равен 5 ед³?

4.11. Найти значении " ", при котором , если (2; 1; -3), (3; ; -1) и ?

4.12. Найти значении " ", при котором , если (0; 2; 2), , (; 3; 1)?

4.13. При каком значении " " векторы (1; 1; 1), (-1; 1; ) и (-1; -1; ) удовлетворяют соотношению ?

4.14. На векторах (1; -2; 3), (4; 0; 2) и (3; 4; 5) построен параллелепипед. Найти длину его высоты, опущенной из вершины С на грань векторов и .

4.15. Даны вершины треугольной пирамиды: А(2; -1; -1), В(5; -1; 2),
С(3; 0; -3) и D(13; -1; -1). Найти длину её высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

4.16. Даны 3 вершины одного основания параллелепипеда: А(2; 1; -1),
В(3; 0; -1), С(2; -1; 3) и вершина F(0; -9; 0) другого основания. Найти длину высоты параллелепипеда, опущенной из точки F на плоскость АВС.

4.17. Дана пирамида ABCD. Найти объём пирамиды и длину высоты, опущенной на основание АВС:

а) А(1; 2; -3); В(2; 2; -2); С(2; 2; -4); D(-2; -2; -1);

б) А(-1; 1; 1); В(-2; 0; 1); С(-2; 2; 1); D(2; 2; -4);

в) А(-1; 3; 2); В(-1; 5; 3); С(-1; 4; -4); D(2; 2; 5);

г) А(3; 2; -1); В(5; 3; -1); С(2; 4; -1); D(4; 3; 4);

д) А(0; 1; -2); В(2; 1; -1); С(1; 1; -4); D(3; -1; -3);

е) А(7; 1; 3); В(3; 1; -5); С(1; 3; 2); D(-1; 0; 2);

ж) А(2; 0; 1); В(-1; 1; 2); С(3; 1; -1); D(2; 2; 4);

з) А(-1; 3; 4); В(2; 0; 1); С(1; 1; -1); D(0; 3; 1);

и) А(0; 2; 1); В(1; -1; 2); С(3; 3; 0); D(-1; -1; 2);

к) А(1; 2; 3); В(-1; 2; 4); С(3; 3; 1); D(-2; 0; 1).

4.18. Объём тетраэдра ABCD равен 12 ед³. Найти координаты вершины D, если А(2; 1; 1), В(0; -1; 3), С(1; 2; -2), а точка D лежит на оси Oy, причём векторы АВ, АС и AD образуют правую тройку.

4.19. Даны два вектора (8; 4; 1) и (2; -2; 1), исходящие из общей точки. Найти вектор , исходящий из той же точки, перпендикулярный к вектору , равный ему по модулю, компланарный с векторами и и образующий с вектором острый угол.

4.20. Векторы , и образуют левую тройку и служат рёбрами параллелепипеда, объём которого 45 ед³. Найти вектор , если известно, что он перпендикулярен плоскости xOy.

4.21. При каком значении объём параллелепипеда, построенного на векторах , , , не больше 3, если (1; ; -1), (2; 1; 1), (-5; -1; 0)?

4.22. Даны векторы:

а) (3; ; -2), (1; 2; -2), (3; 0; -6);

б) (2; 2; -1), (0; 3; -4), (; 2; -1);

в) (; 1; -1), (3; -4; 12), (1; -1; 2);

г) (-1; 2; ), (-2; 1; 2), (3; 1; -1);

д) (2; 2; ), (-2; 1; 2), (3; 1; -1).

Найти значение " ", при котором

а) ;

б) ;

в) векторы , , компланарны;

г) векторы , , образуют левую тройку, а объём параллелепипеда, на них построенного, равен 40 ед³.

4.23. Модули взаимно перпендикулярных векторов , , образующих левую тройку, известны: = а, = b, = с. Найти .

4.24. Объём параллелепипеда, построенного на векторах , и , образующих левую тройку, равен V. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах а) , и ; б) , и .

4.25. Упростить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

4.26. Объём параллелепипеда, построенного на векторах , , , образующих левую тройку, равен 10. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , , . Какую тройку векторов образуют эти векторы, левую или правую?

4.27. Вектор перпендикулярен векторам и , . Вычислить , если = 1, = 2, = 5.

4.28. Векторы , , взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку, = = 2; = 1. При каком значении a смешанное произведение векторов ; и равно 68?

4.29. Даны точки А(1; -1; 0), В(2; 1; t), С(-1; 0; -3), D(4; -5; 2). При каком наибольшем целом t тройка векторов , , будет левой?

4.30. Найти наименьшее , при котором точки А(0; 1; 3), В(; 4; 5),
С(; 0; 4) и D(0; 2; 7) лежат в одной плоскости.