Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Скалярное произведение двух векторов, заданных координатами






Если векторы и заданы координатами: = (Xa; Ya; Za) и
(Xb; Yb; Zb), то их скалярное произведение вычисляется по правилу:

= Xa× Xb + Ya× Yb + Za× Zb.

При этом формулы (3), (4) приобретают вид:

; (3')

, (4')

а необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и () имеет вид:

(5)

Задача 1. Даны вершины 4-угольника ABCD: А(1; 3; -2), В(2a; 0; -1), С(5; a; 1), D(3; -3; 5a). При каком значении " a" диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны?

Решение

= (4; a-3; 3), = (3-2a; -3; 5a+1).

Чтобы диагонали АС и BD были перпендикулярны, потребуем, чтобы × = 0:

.

Ответ: .

Задача 1. Даны вершины DАВС: А(2; 1; 4), В(-1; 2; 2), С(5; 1; 1). Определить его внешний угол при вершине А. (рис. 16).

Решение

Внешний угол DAC можно определить как угол между векторами и :

. (*)

= (3; -1; 2), = (3; 0; -3) (подставляем в (*)) .

Ответ: .

Задача 3. Даны 3 вектора: (2; 2; 1), (-1; 1; -2) и . Вычислить .

Решение

Обозначим + 2 = ; 2 = . Тогда

. (*)

Используя свойства координат векторов, находим координаты векторов и : (0; 4; -3), (1; 1; 2). Подставляя в (*), находим:

.

Задача 4. Даны 3 силы: (3; -4; 2), (2; 3; -5) и (-3; -2; 4), приложенные к одной точке. Вычислить работу, которую производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М1(5; 3; -7) в положение М2(4; -1; -4).

Решение

Обозначим равнодействующую данных сил через = + + , тогда работа

. (*)

Находим координаты векторов: (2; -3; 1); (-1; -4; 3).

По формуле (*) получаем:

.

Задача 5. Найти скалярное произведение векторов и , если = 1; = 2; .

Решение

. По свойству (1) скалярного произведения , поэтому . По свойству (5): ; , так что .

Задача 6. Найти длину вектора , если ; ; .

Решение

По свойству (5) скалярного произведения , откуда следует: . Найдём : .

Следовательно .






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.