Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

. (1)

Скалярное произведение положительно, если , т.е. если угол между векторами и острый, и отрицательно, если угол между перемножаемыми векторами тупой.

Поскольку , , то

(2)

Из формул (1) и (2) следуют формулы (3) и (4):

(3)

(4)

Свойства скалярного произведения

1) Скалярное произведение двух векторов коммутативно (перемести­тельно): .

2) Скалярное произведение ассоциативно (сочетательно) относительно умножения на число: .

3) Скалярное произведение дистрибутивно (распределительно) относительно сложения: .

4) Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы взаимно перпендикулярны:

.

5) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: .