Лаб. раб. 1. Числовые характеристики выборки, гистограмма

При работе в Excel для построения вариационных рядов могут быть использованы следующие функции:

- СЧЁТ (массив данных) – для определения объема выборки. Аргументом является диапазон ячеек, в котором находятся выборочные данные.

- ЧАСТОТА (массив данных; массив интервалов) – для построения вариационного ряда. Аргументами являются диапазон массива выборочных данных и столбец интервалов. Если требуется построить дискретный ряд, то здесь указываются значения варианты, если интервальный – то верхние границы интервалов (их еще называют «карманами»). Поскольку результатом является столбец частот, введение функции следует завершить нажатием сочетания клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. Заметим, что задавая массив интервалов при введении функции, последнее значение в нем можно и не указывать – в соответствующий «карман» будут помещены все значения, не попавшие в предыдущие «карманы». Иногда это помогает избежать ошибки, состоящей в том, что наибольшее выборочное значение не помещается автоматически в последний «карман»

Кроме того, для сложных группировок (по нескольким признакам) используют инструмент «сводные таблицы» и «анализ данных» «описательная статистика» в меню «данные». Для построения атрибутивных и вариационных рядов их тоже можно использовать, но это излишне усложняет задачу. Также для построения вариационного ряда и гистограммы существует процедура «гистограмма» из надстройки «Пакет анализа» (чтобы использовать надстройки в Excel, их нужно сначала загрузить, по умолчанию они не устанавливаются)

Для вычисления средней в интервальном ряду нужно перейти к дискретному ряду, заменив интервал его средним значением.

Для нахождения моды и медианы по выборке в Excel используются соответственно функции МОДА(массив данных) и МЕДИАНА (массив данных).

Наиболее простой характеристикой вариации признака является размах вариации:

R=x _max – x _min,

где x _max – наибольшее, x _min – наименьшее значения в выборке.

В Excel размах вычисляется при помощи формулы:

МАКС(массив данных)-МИН(массив данных)

В Excel дисперсия D_в выборки вычисляется при помощи функции ДИСПР(массив данных).

В Excel исправленная дисперсия s² выборки вычисляется при помощи функции ДИСП(массив данных).

Корень квадратный из дисперсии представляет среднее квадратическое отклонение или стандартное отклонение и вычисляется с помощью команды =КОРЕНЬ(номер ячейки) или =СТАНДОТКЛОНП(массив данных).

Корень квадратный из исправленной дисперсии представляет исправленное среднее квадратическое отклонение или стандартное отклонение и вычисляется с помощью команды =КОРЕНЬ(номер ячейки) или =СТАНДОТКЛОН(массив данных).

Кроме того, для сравнения гистограммы или полигона вариационного ряда с нормальным распределением, вычисляют коэффициент асимметрии и эксцесс.

В Excel эти характеристики по выборке вычисляются соответственно функциями

СКОС(массив данных) и ЭКСЦЕСС(массив данных).

Заметим, что для вычисления основных выборочных характеристик в Excel можно использовать также процедуру «Описательная статистика» из надстройки «Пакет анализа».

Чтобы изменить (уменьшить) количество знаков после запятой в полученных значениях для выборочной средней, дисперсии, … надо выделить нужные ячейки, нажать правую кнопку мыши, выбрать «формат ячеек», «числовой» и поставить нужное число знаков после запятой.

Пример 1.1.

Имеются данные о выбросах загрязняющих веществ из 50 источников:

Составить равноинтервальный ряд, построить гистограмму

Решение. Откроем таблицы Excel. Введем массив данных в диапазон А1: L5. Если Вы изучаете документ в электронной форме (в формате Word, например), для этого достаточно выделить таблицу с данными и скопировать ее в буфер, затем выделить ячейку А1 и вставить данные – они автоматически займут подходящий диапазон. Подсчитаем объем выборки n – число выборочных данных, для этого в ячейку В7 введем формулу =СЧЁТ(А1: J5). Заметим, что для того, чтобы в формулу ввести нужный диапазон, необязательно вводить его обозначение с клавиатуры, достаточно его выделить. Определим минимальное и максимальное значение в выборке, введя в ячейку В8 формулу =МИН(А1: J5), и в ячейку В9: =МАКС(А1: J5).

Поскольку требуется интервальный ряд, и число интервалов в задаче не задано, вычислим число интервалов k по формуле Стерджесса. Для этого в ячейку В10 введем формулу

=1+3, 322*LOG10(B7).

Рис.1.4. Пример 2. Построение равноинтервального ряда

Полученное значение не является целым, оно равно примерно 6, 64. Поскольку при k=7 длина интервалов будет выражаться целым числом (в отличие от случая k=6) выберем k=7, введя это значение в ячейку С10. Длину интервала d вычислим в ячейке В11, введя формулу =(B9-B8)/C10.

Зададим массив интервалов, указывая для каждого из 7 интервалов верхнюю границу. Для этого в ячейке Е8 вычислим верхнюю границу первого интервала, введя формулу =B8+B11; в ячейке E9 верхнюю границу второго интервала, введя формулу =E8+B11. Для вычисления оставшихся значений верхних границ интервалов зафиксируем номер ячейки В11 в введенной формуле при помощи знака $, так что формула в ячейке Е9 примет вид =E8+B$11, и скопируем содержимое ячейки E9 в ячейки E10-E14, «потянув» за правый нижний уголок ячейки. Последнее полученное значение равно вычисленному ранее в ячейке B9 максимальному значению в выборке.

Рис.1.5. Пример 2. Построение равноинтервального ряда

Теперь заполним массив «карманов» при помощи функции ЧАСТОТА. Выделим столбец частот, введем формулу =ЧАСТОТА(А1: J5; E8: E14) и нажмем сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Для контроля вычислим сумму частот при помощи функции СУММ (значок функции S в группе «Редактирование» на вкладке «Главная»), вычисленная сумма должна совпасть с ранее вычисленным объемом выборки в ячейке В7.

Рис.1.6. Пример 2. Построение равноинтервального ряда

По полученному вариационном ряду построим гистограмму: выделим столбец частот и выберем на вкладке «Вставка» «Гистограмма». Получив гистограмму, изменим в ней подписи горизонтальной оси на значения в диапазоне интервалов, для этого выберем опцию «Выбрать данные» вкладки «Конструктор». В появившемся окне выберем команду «Изменить» для раздела «Подписи горизонтальной оси» и введем диапазон значений варианты, выделив его «мышью».

Рис.1.7. Пример 2. Построение гистограммы

Рис.1.8. Пример 2. Построение гистограммы

Лаб. раб. 2. Доверительный интервал для генеральной средней (мат.ожидания)

В случае большой выборки (n³ 100) предельную ошибку для среднего выборки можно рассчитать в Excel при помощи функции

ДОВЕРИТ(альфа; станд.откл; размер),

альфа — допустимая вероятность ошибки, т.н. уровень значимости: a=1-g;

станд.откл. — генеральное среднее квадратическое отклонение, предполагающееся известным, или его оценка ;

размер — текущий объем выборки n.

При помощи формулы предельной ошибки выборки определяют доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью g для генерального среднего : . При этом

В случае малой выборки (n< 30) при отсутствии данных о нормальности распределения признака предельная ошибка для генеральной средней определяется по формуле:

— табличное значение критерия Стьюдента для вероятности g при числе степеней свободы n-1. В Excel коэффициент доверия для малой выборки рассчитывается при помощи функции СТЬЮДРАСПОБР(вероятность; степени свободы), где за аргумент вероятность принимается уровень значимости a=1-g.

Для 30< n< 100 причисление выборки к категории «большой» или «малой» индивидуально, зависит от постановки задачи и от дисперсии выборки. Четкой границы между большой и малой выборками в общем случае указать невозможно. Выборка, сделанная из совокупности с небольшим разбросом признака, может считаться большой, тогда как выборка такого же объема, произведенная из более разнородной совокупности, окажется малой.

Пример 2.1.

Имеются данные по уровню безработицы в России в 2006 году:

Определить доверительный интервал с надежностью 0, 9 для средней безработицы: 1) считая выборку большой; 2) считая выборку малой.