Граничные условия в магнитном поле

На границе двух сред векторы магнитного поля и должны удовлетворять определенным условиям, которые называются граничными. Рассмотрим замкнутую цилиндрическую поверхность S, которая проведена так, как показано на рис.1.3. Площадки Δ S небольшие, и поэтому можно считать, что вектор имеет одинаковые значения во всех точках данной площадки.

Поток вектора через всю поверхность S равен нулю, так как поверхность замкнутая. С другой стороны, поток может быть разбит на три части: Ф₁ - поток сквозь верхнюю площадку; Ф₂ - поток сквозь нижнюю площадку и Ф_б - поток сквозь боковую поверхность цилиндра, причем сумма этих потоков должна равняться нулю, т.е. Ф₁+Ф₂+Ф_б=0.

Так как , , то .

Если высоту цилиндра уменьшить так, чтобы верхняя и нижняя площадки Δ S совпали с граничной поверхностью, то поток сквозь боковую поверхность обратиться в нуль, и тогда

. (1.25)

Рис. 1.3. Граничные условия для вектора магнитной индукции

Следовательно, нормальная составляющая вектора магнитной индукции на границе двух сред непрерывна. Это первое граничное условие. Так как , , то

, (1.26)

т.е. нормальные составляющие вектора напряженности магнитного поля на границе двух сред обратно пропорциональны магнитным проницаемостям этих сред.

Чтобы получить второе граничное условие, составим циркуляцию вектора вдоль кривой L (рис. 1.4). По закону полного тока .

Циркуляцию по контуру можно представить в виде суммы трех интегралов, взятых соответственно: по верхнему участку Δ l, по нижнему участку длиной Δ l и по боковым участкам. Если Δ l мало и направление обхода контура совпадает с направлением движения часовой стрелки, то можно записать

.

Рис. 1.4. Граничные условия для вектора

напряженности магнитного поля

Уменьшая длину боковых сторон так, чтобы участки Δ l совпадали с граничной поверхностью, получаем .

Если по граничной поверхности течет конечной величины ток с поверхностной плотностью (на рис.1.4 этот ток показан стрелками), то полный ток равен .

Следовательно,

. (1.27)

На границе двух сред касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля претерпевает скачок, равный плотности поверхностного тока, протекающего по границе. Если d =0, т.е. по граничной поверхности ток не протекает, то

, (1.28)

т.е. касательная составляющая вектора непрерывна на границе двух сред.

Так как ; , то

. (1.29)

На рис. 1.5 изображена одна из линий вектора у границы двух сред с проницаемостями μ ₁ и μ ₂. Нетрудно получить соотношение

nbsp; или

.

Соотношение это представляет собой закон преломления линий вектора на границе двух сред.

Рис. 1.5. Преломление линий вектора магнитной индукции

у границы двух сред