Геометрия поверхностей

ЛЕКЦИЯ № 8. Пространственные конструкции покрытий

Пусть поверхность S в окрестности точки < < O > > обладает некоторыми критериями гладкости.

Через точку < < O > > проведена нормаль < < n> > к поверхности и касательная плоскость < < P > >. Через нормаль < < n > > проведем плоскость < < N > > нормальную к поверхности S и касательной к ней плоскости < < P > >.

Плоскость < < N > > рассечет поверхность S по кривой L и касательную плоскость по прямой l (рис. 1.)

Если плоскость N вращать вокруг нормали< < n > >, то каждому положению плоскости N на поверхности S и на плоскости P будет соответствовать некоторая кривая L и прямая l.

Кривые L, как и поверхность S, обладают некоторыми критериями гладкости и имеют неравные 0 радиусы кривизны R в точке 0. Кривизна кривой К – есть обратная величина радиуса кривизны

При вращении плоскости N вокруг нормали < < n > > центры кривизны кривых L перемещаются и могут переходить с одной стороны плоскости Р на другую. Считаем, что радиусы кривизны кривых L при этом меняют знак с < < +> > на < < -> >.

Произведем следующее построение. В плоскости Р по направлению каждой прямой l отложи корень квадратный из радиуса кривизны кривой L.

Полученные кривые в касательной плоскости Р для любых гладких поверхностей будут только трех типов: эллипс (рис.2.), гипербола (рис. 3.) и пара параллельных прямых (рис. 4.). Эти кривые называются индикатрисами Дюпена.

Поскольку эллипс, гипербола и пара параллельных прямых описываются уравнениями второго порядка и имеют по две ортогональных оси симметрии, то радиусы кривизны поверхности по этим направлениям называются главными радиусами R1 и R2.

Гаусс ввел для поверхностей новое понятие: Гауссовой кривизны:

Для поверхностей с индикатрисой Дюпена в виде эллипса (рис. 2.) очевидно, что R1 и R2 имеют один знак и, следовательно, Гауссова кривизна таких поверхностей положительна Г> 0.

Для поверхностей с индикатрисой Дюпена в виде гиперболы (рис. 3.) очевидно, что главные радиусы кривизны имеют разные знаки, т.е. их разделяет асимптотические направления гипербол, где кривизна равна 0.

Таким образом, для поверхностей с индикатрисой Дюпена в виде 4-х ветвей гиперболы Гауссова кривизны отрицательна Г< 0.

Для поверхностей с индикатрисой Дюпена в виде 2-х параллельных прямых (рис.4.) очевидно, что один из главных радиусов кривизны равен и, следовательно, Гауссова кривизна равна < < 0> > Г=0.

Таки образом:

- все множество гладких поверхностей, даже не имеющих математического описания, распадается на 3 класса: положительной Гауссовой кривизны, отрицательной Гауссовой кривизны и нулевой Гауссовой кривизны;

- на всех поверхностях в любой точке существует два ортогональных направления, где кривизна поверхности достигает максимума и минимума;

- на поверхностях положительной Гауссовой кривизны отсутствуют направления с нулевой кривизной, т.е. на поверхности отсутствуют прямые линии и она лежит по одну сторону от касательной плоскости (рис.5.);