Свойства. Ортогональное дополнение является подпространством, то есть замкнуто относительно сложения векторов и умножения на элемент поля.

Ортогональное дополнение является подпространством, то есть замкнуто относительно сложения векторов и умножения на элемент поля.

Если , то

Радикал билинейной формы является подпространством любого ортогонального дополнения.

Если форма является невырожденной, а пространство конечномерно, то

Если же — конечномерное евклидово пространство и — скалярное произведение (или же унитарное пространство и эрмитово скалярное произведение соответственно), то для любого подпространства разлагается в прямую сумму и

Тема2

13…

математике термин евкли́ дово простра́ нство может обозначать один из двух сходных объектов:

1. Конечномерное вещественное векторное пространство с введённой на нём нормой

где . Также назывется конечномерным гильбертовым пространством

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством над полем вещественных чисел с метрикой, введённой по формуле:

где и

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства размерности n = 1 (вещественная прямая) и размерности n = 2 (комплексная плоскость или евклидова плоскость).

14…

, свойство коммутативности;
2) , свойство дистрибутивности;
3) ;
4) при ;
5) ;
6) Если -- угол между векторами a и b, то ;
7) , если ;
8) тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.

неравенство Коши-Буняковского

Формулировка

Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть - норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем

.

Примеры

В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

,

где обозначает комплексное сопряжение .

В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

.

В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

,

где обозначает ковариацию, а дисперсию.

15…

Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства.

Норма в векторном линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел естьфункция , удовлетворяющая следующим условиям:

, причём только при ;

для всех (неравенство треугольника);

для каждого скаляра .

Норма обычно обозначается . Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.

Примеры норм в линейных пространствах

Гёльдеровы нормы n -мерных векторов (семейство):

Нормы функций в пространстве :

Линейное пространство L называется нормированным, если любому его элементу x поставлено в соответствие число, называемое нормой и обозначаемое , причем при этом выполнены следующие условия:

Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем расстояние . Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств 1) – 3) нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом, все понятия и факты, которые были изложены для метрических пространств.

Примеры.

6.3.1. Множество вещественных чисел становится нормированным пространством, если положить .

6.3.2

Заметим, что в этом же пространстве можно ввести норму и по-другому, например, так

или .

(Аксиомы нормы 1)-3) выполняются).

6.3.3. В пространстве непрерывных функций на отрезке определим норму формулой

.

.

Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

16…

; кубическая норма.

; октоэдрическая норма.

- евклидова норма(сферическая).

17….