Формула Бернулли.

Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью q, то вероятность того, что событие A произойдет в этих n опытах ровно k раз, выражается формулой Бернулли

. , 0≤ k ≤ n (2.22)

Формула (2.22) выражает так называемое биномиальное распределение вероятностей и применяется, как правило, при n ≤ 10

Пример. Сообщение передается серией кодированных сигналов. В серии из десяти сигналов, вероятность получения каждого сигнала p=0, 2. Сообщение считается принятым, если из серии получено четыре сигнала. Какова вероятность принять переданное сообщение.

Решение.

Событие A - сигнал принят, n=10, k=4.

Значение k, при котором P_n(k) превышает или, по крайней мере, не меньше, вероятности остальных возможных исходов испытания называют наивероятнейшим, обозначают k₀ и определяют из двойного неравенства

(np – q) ≤ k₀ ≤ (np + p) (2.23)

При этом, если

(np – q) - дробное, то существует одно наивероятнейшее число k₀;

(np – q) - целое, то существует два наивероятнейших числа: k₀ и k₀ + 1;

(np) - целое, то k₀ = n*p.

Пример. Вероятность того, что в течении одного дня на предприятии будет перерасход воды равна 0, 3. Определить наиболее вероятное число дней в течении месяца (30-ти дней) с нормальным расходом воды.

Решение.

n=30, p = 1-0, 3 = 0, 7; q=0, 3

По (2.23) 30*0, 7 – 0, 3 ≤ k₀ ≤ 30*0, 7 + 0, 7

20, 7 ≤ k₀ ≤ 21, 7

k₀ = 21