Геометрическая вероятность

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Применяется для расчета вероятностей, если проводимые испытания имеют бесконечное число элементарных исходов.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно L, т.е.

P = Длина l / Длина L (1.9)

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно G, т.е.

P = площадь g / площадь G (1.10)

Формулы (1.9), (1.10) определяют геометрическую вероятность. Аналогичную формулу можно получить и для трехмерного пространства.

Пример. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течении установленного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы.

Решение. Обозначим моменты прихода лица А через x и лица В через y. Для того, чтобы встреча произошла, должно выполниться условие . Изобразим x и y как координаты точки плоскости. В качестве единицы масштаба выберем минуту.

Возможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60, а благоприятствующие встрече исходы расположатся в заштрихованной области.

Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата