Границя функції на нескінченності і нескінченні границі

Нехай функція f(x) визначена при х > х₀ (х < х₀).

Визначення 5. Число А називається границею функції f(x) при х ®¥ (х ®-¥), якщо для будь-якого можна знайти таке , що при всіх х, які задовольняють нерівності , виконують нерівність

При цьому вживають відповідні позначення

f(x)=A f(x)=A

або

f(x)®A, х®+¥ (f(x)®A, х®-¥).

В разі, якщо існують границі функції f(x) як при х®+¥, так і при х®-¥, причому f(x)= f(x)=A , то вживають позначення

f(x)=A або f(x)®A, х®¥

Вище малося на увазі, що А – певне число. Іноді зручно розглядати нескінченні границі функції.

Визначення 6. Кажуть, що функція f(x) має своєю границею +¥ (-¥) при х ® х₀ (або в точці х₀), якщо для будь-якого Е> 0 можна знайти таке число δ > 0, що при всіх х, які задовольняють нерівність 0< | x-x₀ |< δ, виконується нерівність f (x)> E (f (x)< - E).

При цьому вживають відповідно позначення

f(x)= +¥ ( f(x)=- ¥)

або

f(x)® +¥ х ® х₀ (f(x)®- -¥, х ® х₀).

Аналогічно тому, як це зроблено в 3.2 цього параграфа, нескладно визначити також односторонні нескінченні границі

f(x)= ±¥; f(x)=± ¥.

Приклад 5. Використовуючи визначення, довести (3 х -2)=1.

Δ Візьмемо будь-яке число ε > 0. Задача полягає в тому, щоб по цьому ε знайти таке δ > 0, при якому із нерівності | x -1|< δ випливала нерівність | f (x)-1|=|(3 x -2)-1|< ε. Перетворюючи останню нерівність, отримаємо |(3 x -1|< ε або | x -1|< .

Отже, якщо взяти δ , то для всіх х, які задовольняють нерівності | x -1|< δ, виконується нерівність | f (x)-1|< ε. Це і означає, що =(3 х -2)=1.

Якщо, наприклад, ε =1, то δ ≤ , якщо ε = , то δ ≤ , якщо ε =0, 01, то δ ≤ 0, 03 і т.д.; таким чином, δ залежить від ε. Тому в визначенні границі іноді пишуть δ = δ (ε).