Исследование взаимосвязей между экономическими показателями

В данном разделе на конкретных примерах обсуждаются некоторые особенности построения регрессионных моделей и их использования. Все модели в разделе построены с помощью команды Анализ данных в среде Excel.

Пример 4.2.1. Исследуется зависимость себестоимости единицы продукции от объема произведенной продукции по данным 15 однотипных объединений. Построить модель зависимости и на основе модели сделать прогноз себестоимости, если объем производства на объединении составит 20 тыс. шт.

Таблица

Исходные данные примера 4.2.1

Решение. В качестве зависимого показателя y в данной модели выступает себестоимость единицы продукции, в качестве фактора (независимого показателя) x выпуск продукции. Для выявления адекватной формы зависимости между показателями можно представить зависимость графически и увидеть, что наиболее адекватными для данной зависимости являются линейная , параболическая , равносторонняя гипербола . С помощью функции «Анализ данных» для каждой из этих функций найдем искомые параметры регрессии и статистические характеристики.

(-6, 6)

(-3, 9) (2, 4)

(5, 9)

Статистические характеристики всех функций являются удовлетворительными, и следовательно данные уравнения можно использовать для анализа и прогноза. Если проранжировать эти функции по набору статистических характеристик наилучшей является параболическая функция, затем – линейная, и, наконец, гипербола. Применим параболическую функцию, как наилучшую, для прогноза:

(млн.руб.)

Таким образом, если выпуск составит 20 тыс.шт., можно ожидать, как показали расчеты, что себестоимость единицы продукции составит 3, 9 млн.руб. Однако экономический анализ полученного результата затруднителен с точки зрения его интерпретации. Дело в том, что в соответствии с положениями экономической теории с ростом объема производства можно ожидать снижение себестоимости. На это также указывает динамика представленных рядов: с ростом объема производства четко прослеживается тенденция снижения себестоимости. Судя по всему структура функции (см. рис.4.2.1), несмотря на удовлетворительные статистические характеристики, не отражает адекватно данную зависимость.

За параболической функцией по рангу следует линейная функция. Выполним с использованием данной функции прогноз:

-3, 1 (млн.руб.)

В соответствии с данной функцией, себестоимость получилась вообще отрицательной, что исходя из экономического смысла невозможно.

Совершенно очевидно, для адекватного описания данной зависимости вид функции должен быть такой, что с ростом объема производства себестоимость снижается и асимптотически приближается к какой-то положительной величине. Такая зависимость хорошо описывается равносторонней гиперболой. Используя эту функцию для прогноза, получаем:

1, 84 (млн.руб.)

Полученный результат хорошо поддается экономической интерпретации и отражает зависимость: с ростом объема производства себестоимость единицы продукции снижается и асимптотически приближается к величине 0, 87 млн.руб. Данный уровень себестоимости можно интерпретировать как предельный, ниже которого себестоимость единицы продукции быть не может при любом сколь угодно большом приросте объема производства.

Из приведенного примера можно сделать полезный с точки зрения моделирования вывод: при выборе адекватной функции для анализа и прогноза необходимо ориентироваться не только статистические характеристики, но и экономическую интерпретацию функций.

Пример 4.2.2. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции y от факторов (табл.)

Таблица

Исходные данные примера 4.2.2

Признак-фактор	Уравнение парной регрессии	Среднее значение фактора
Объем производства (млн.руб.) ()		=2, 64
Трудоемкость единицы продукции (чел-час.) ()		=1, 38
Оптовая цена за 1 т энергоносителей (млн.руб.) ()		=1, 5
Доля прибыли, изымаемая государством (%)()		=26, 3

Требуется с помощью коэффициентов эластичности оценить силу влияния каждого фактора на результат. Ранжировать факторы по силе влияния.

Решение. Для уравнения равносторонней гиперболы коэффициент эластичности определяется следующим образом:

Для линейной зависимости :

Для уравнения степенной зависимости :

Для уравнения показательной функции :

Сравнивая коэффициенты эластичности, ранжируем их по силе влияния на себестоимость единицы продукции: а) , б) , в) , г) .

Из количественных расчетов можно сделать следующий вывод. Для формирования уровня себестоимости продукции группы предприятий первоочередное значение имеют цены на энергоносители, в гораздо меньшей степени влияют трудоемкость продукции и отчисляемая часть прибыли. Фактором снижения себестоимости выступает размер производства: с ростом его на 1 % себестоимость единицы продукции снижается на 0, 97 %.

Данный пример полезен с точки зрения возможности использования регрессионной модели в экономическом анализе при оценке сравнительной силы влияния факторов на результативный показатель.

Пример 4.2.3. Предприятие разрабатывает круг мероприятий с целью увеличения сбыта своей продукции. Одним из основных мероприятий предполагается снизить цены на продукцию. Оценить статистическую значимость этого фактора, если была исследована аналогичная зависимость по группе 14 однотипных предприятий (табл.)

Таблица

Исходные данные к примеру 4.2.3

Решение. После компьютерной реализации имеем функцию вида:

(-2, 1)

Попытаемся улучшить статистические характеристики за счет изменения формы связи:

(-2, 2)

(2, 0)

В результате изменения формы связи статистические характеристики изменились незначительно. Из проведенных расчетов можно сделать вывод, что динамика цен приблизительно на 30% определяет сбыт продукции.

Попробуем улучшить статистические характеристики за счет введения фактора

– расходы на рекламу.

Таблица

Дополнение к исходной информации примера 4.2.3

После компьютерной реализации зависимости: в качестве зависимого показателя(y) сбыт продукции, факторов – индекс цен(x₁) и расходы на рекламу (x₂), — получили следующую зависимость:

(-0, 5) (11)

Данное уравнение показывает, что введение второго фактора значительно улучшило статистические характеристики уравнения: оба фактора на 94% объясняют поведение сбыта продукции. Как показывают , статистически значимым являются расходы на рекламу. Заметим, что знаки параметров регрессии с экономической точки зрения правильно отражают зависимости между показателями: с увеличение цены на 1 пп. сбыт продукции уменьшается на 0, 05 тыс.шт., при увеличении расходов на рекламу на 1 тыс.у.е. стыт продукции увеличивается на 0, 53 тыс.шт. В дополнение к известному набору статистических характеристик, в множественной регрессии оценивается мультиколлинеарность факторов: в нашем примере коэффициент корреляции между независимыми факторами составляет –0, 5, что позволяет предположить отсутствие мультиколлинеарности. Также, если позволяет пакет, можно рассчитать стандартизованные параметры регрессии:

,

которые показывают, что при увеличении индекса цен на 1 стандартное отклонение сбыт продукции снижается на 0, 02 стандартных отклонений, при увеличении расходов на рекламу на 1 стандартное отклонение сбыт продукции увеличивается на 0, 93 стандартных отклонений. Отсюда можно заключить о более интенсивном влиянии расходов на рекламу на сбыт продукции.

Как показывает уравнение множественной регрессии, индекс цен не является статистически значимым фактором, поэтому его можно исключить из анализа. Построим зависимость сбыта продукции в зависимости от расходов на рекламу:

(13, 5)

Все параметры уравнения удовлетворительные, поэтому данное уравнение можно использовать для анализа и прогноза.

Таким образом расчеты показали, что наиболее эффективным является воздействие на сбыт продукции не со стороны снижения цены, а со стороны расходов на рекламу.

Данный пример еще раз подтверждает следующий вывод. На основе содержательного экономического анализа можно выявить набор потенциальных факторов, влияющих на результативный показатель. Однако количественно оценить значимость каждого фактора в текущих условиях экономической конъюнктуры возможно лишь с применением аппарата эконометрики.

Пример 4.2.4. Зависимость спроса на свинину от цены на нее и от цены на говядину представлена уравнением:

(-0, 827) (1, 015)

Представить данное уравнение в обычной форме. Оценить значимость параметров данного уравнения.

Решение. Представленное степенное уравнение множественной регрессии приводим к естественной форме путем потенцирования обеих частей уравнения:

или .

Значения коэффициентов регрессии в данной форме связи равны коэффициентам эластичности: , .

Сравнительный анализ коэффициентов эластичности показывает, что спрос на свинину сильнее связан с ценой на говядину: спрос увеличивается на 2, 83% при росте цен на говядину на 1%. Спрос на свинину связан с ее ценой обратной зависимостью: с ростом цен на свинину на 1%, потребление ее в среднем снижается на 0, 21%.

Табличное значение t-критерия для a=0, 05 обычно лежит в интервале 2-3 в зависимости от степеней свободы. В данном примере t- статистики параметров меньше этой величины, что свидетельствует о случайной природе взаимосвязей, о статистической ненадежности данного уравнения, поэтому применять полученное уравнение для прогноза не рекомендуется.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Что такое уравнение регрессии, регрессионная модель Приведите этапы построения регрессионной модели.

2. Какой класс экономических задач решают регрессионные модели?

3. Какова особенность построения регрессионных моделей на пространственных и временных рядах?

4. Что является информационной базой регрессионной модели?

5. Что является методологической основой построения регрессионной модели?

6. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов (МНК)? Каковы предпосылки корректного использования МНК?

7. Приведите основные диагностические тесты регрессионной модели, построенной на пространственных данных.

8. Дайте интерпретацию коэффициента детерминации.

9. Дайте интерпретацию t -статистики и стандартных ошибок параметров регрессии.

10. Укажите достоинства и недостатки линейной регрессии в сравнении с нелинейными формами связи.

11. Укажите экономический смысл коэффициентов парной и множественной линейной регрессии.

12. Укажите экономический смысл коэффициентов регрессии в степенной форме связи. Какие еще формы связи имеют экономически интерпретируемые коэффициенты регрессии?

13. Что такое стандартизованные коэффициенты регрессии? Дайте их экономическую интерпретацию.

14. Какие тесты характеризуют мультиколлинеарность факторов?

ТЕСТЫ

1. В основе математического обеспечения регрессионной модели лежит:

а) математическая статистика;

б) линейная алгебра;

в) математическое программирование.

2. Коэффициент корреляции показывает:

а) тесноту линейной связи между показателями;

б) тесноту нелинейной связи между показателями;

в) тесноту связи между показателями.

3. Если коэффициент детерминации в парной линейной регрессии равен 0, 8, то это означает что:

а) при увеличении фактора на 1% зависимый показатель изменяется на 0, 8%;

б) при увеличении фактора на 1 единицу зависимый показатель изменяется на 0, 8 единиц;

в) включенные в регрессионную модель факторы на 80% определяют колебания зависимого показателя.

4. Коэффициент парной линейной регрессии b показывает, что:

а) при изменении фактора на 1 единицу зависимый показатель изменяется на b единиц;

б) при изменении фактора на 1 % зависимый показатель изменяется на b %;

в) при изменении фактора на 1 пп. зависимый показатель изменяется на b пп.

5. Коэффициент регрессии b интерпретируется как коэффициент эластичности в следующей форме связи:

а) степенная функция;

б) показательная функция;

в) логарифмическая функция.

6. t- статистика параметров регрессии используется для оценки:

а) значимости параметров регрессии;

б) статистической значимости каждого фактора в отдельности;

в) статистической значимости введенных в регрессионную модель факторов в совокупности.

7. Стандартизованные коэффициенты регрессии позволяют оценить:

а) значимость параметров регрессии;

б) сравнительную силу влияния введенных в модель факторов;

в) статистическую значимость введенных в модель факторов.

8. Мультиколлинеарность факторов в регрессионной модели:

а) является нежелательной, т.к. приводит к ненадежности оценок параметров регрессии;

б) является желательной, т.к. увеличивает коэффициент детерминации;

в) не влияет на степень надежности оценок параметров регрессии.

9. Информационной базой для построения пространственной регрессионной модели является:

а) отчетность совокупности предприятий (отраслей) за ряд лет (месяцев, кварталов);

б) отчетность совокупности предприятий (отраслей) в определенный момент времени;

в) отчетность предприятия (отрасли, национальной экономики) за ряд лет (месяцев, кварталов).

10.Построение регрессионной модели средствами EXCEL можно осуществить с помощью команд:

а) Анализ данных;

б) МОБР;

в) Поиск решения.