Модели оптимизации в сельском хозяйстве

Остановимся на основных базовых экономико-математических моделях.

Модель оптимизации в растениеводстве. К основным моделям экономических процессов в растениеводстве относятся задачи по оптимизации плана производства кормов и распределения минеральных удобрений. Задача оптимизации плана производства кормов важна для всех сельскохозяйственных предприятий, где имеются животноводческие отрасли, но наиболее актуальна для хозяйств животноводческого направления и специализирующихся на производстве кормов, так как позволяет выявить дополнительные резервы кормопроизводства за счет совершенствования структуры посевных площадей и расхода кормов. Оптимальный план предполагает обязательный баланс производства кормов и потребности в них. Применение минеральных удобрений ¾ один из важнейших факторов интенсификации сельскохозяйственного производства и получения дополнительной продукции растениеводства. При этом следует учитывать требования, предъявляемые к охране окружающей среды и качеству пищевых продуктов.

Приведем пример модели линейной оптимизации в растениеводстве. Базовой моделью выступает модель оптимизации производственной программы (3.2.1)-(3.2.3).

Пример3.2.9. Необходимо определить оптимальную структуру производства в хозяйстве, располагающем 2000 га пашни, ресурсами труда 300000 человеко-часов и возможностями денежно-материальных затрат 1, 5 млн руб. Хозяйству установлен объем про­изводства товарного зерна не менее 16 тыс. ц. Могут возделы­ваться зерновые как на товарные цели, так и в обмен на ком­бикорм, картофель товарный, кормовые корнеплоды. Животно­водство представлено свиноводством. Нормы затрат производ­ственных ресурсов на 1 га указанных культур и 1 ц свинины представлены в таблице.

Таблица

Исходные данные (пример 3.2.9)

В расчете на 1 га зерновых товарный выход зерна составля­ет 40 ц, прибыль — 100 ден.ед., по картофелю — 500 ден.ед. Услов­ная прибыль (стоимость товарной продукции свиноводства без учета стоимости кормов) на 1 ц свинины — 200 ден.ед. Для полу­чения показателя прибыли необходимо вычесть стоимость кор­мов, однако пока не ясно, в каком количестве они будут израс­ходованы. Поэтому по фуражным культурам денежно-матери­альные затраты должны быть со знаком «-».

Необходимо построить и решить модель задачи, по которой можно будет рассчитать оптимальную структуру производст­ва для получения максимальной прибыли.

Решение. Поскольку в задаче требуется найти структуру посевных площадей и объем производства свинины, на которых обеспечивается получение максимальной прибыли, то в качестве неизвестных в модели выступают:

х₁ — площадь посева зерновых на товарные цели, га; х₂ — то же в обмен на комбикорм, га; х₃ — площадь посева картофеля на товарные цели, га; х₄ — площадь посева кормовых корнеплодов, га; х₅ — производство свинины, ц.

Запишем условия задачи.

1. Ограничение по площади пашни, га:

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ ≤ 2000.

2. Ограничение по использованию трудовых ресурсов, чел.-ч:

20 х₁ +20 х₂ +300 х₃ +500 х₄ + 20 х₅ ≤ 300 000.

3. Ограничение по использованию материально-денежных средств, ден.ед.:

250 х₁ +250 х₂ +1500 х₃ +1000 х₄ + 70 х₅ ≤ 1 500 000.

4. Ограничение по балансу кормов, ц корм. ед.;

40 х₂ +75 х₄ ≥ 6 х₅, или - 40 х₂ — 75 х₄ + 6 х₅ ≤ 0.

5. Ограничение по производству товарного зерна, ц:

40 х₁ ≥ 16 000, или 40 х₁ — х₆ = 16 000.

где х₆ — количество зерна, произведенного сверх заданных 16000 ц.

Целевая функция ─ максимум прибыли:

f(x) = 100 x₁ -250 x₂ +500 x₃ -1000 x₄ + 200 x₅ + 0∙ x₆ → max.

Итак мы получим следующую модель нашей задачи

f(x) = 100 x₁ -250 x₂ +500 x₃ -1000 x₄ + 200 x₅ → max.

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ ≤ 2000

20 х₁ +20 х₂ +300 х₃ +500 х₄ + 20 х₅ ≤ 300 000

250 х₁ +250 х₂ +1500 х₃ +1000 х₄ + 70 х₅ ≤ 1 500 000

- 40 х₂ — 75 х₄ + 6 х₅ ≤ 0

40 х₁ — х₆ = 16 000

х_j ≥ 0, (j= .

После решения задачи на ПЭВМ получаем следующий оптимальный план: х₁ =400; х₂ =1521, 8; х₃ = 0; х₄ =78, 2; х₅ =11122, 9; х₆ = 0. Значения двойственных переменных: у₁ =976, 2582; у₂ =0, 6983; у₃ =0; у₄ =31; у₅ = 22, 2526 При этом значение функции будет равно f(max)= 1805923.

Ответ. Оптимальный план предполагает посев зерновых на товарные цели на площади 400 га (х₁ = 400), в обмен на комбикорм ¾ 1521, 8 и кормовых корнеплодов 78, 2 га. Всего пашни будет использовано 2000 га (400+1521, 8+78, 2). На 1600 га произведено кормов 66737, 5 ц корм. ед. (1521, 8*40+78, 2*75), что позволит получить 11122, 9 ц свинины (66737, 5/6). Товарное зерно будет произведено на 400 га в объеме 16000 ц, что точно соответствует плану. Данная производственная структура обеспечивает получение максимального количества прибыли ¾ 1805923 ден.ед. Эта прибыль получена за счет товарного зерна ¾ 40000 ден.ед., производства свинины ¾ 1765923 ден.ед. Если в оптимальный план включить 1 га картофеля, то это приведет к уменьшению массы прибыли на 685, 755 ден.ед. Что же касается сверхпланового зерна, то каждый его центнер снизит массу прибыли на 22, 26 ден.ед. Такие ресурсы как пашни, труд и корма полностью использованы. Они дефицитны, и если каждый ресурс увеличить на единицу, то это приведет к увеличению прибыли. Так, 1 га пашни сверх имеющихся 2000 даст 976, 2569 ден.ед. прибыли, 1 человеко-час привлеченного труда ¾ 0, 6983 ден.ед., 1 ц корм. единиц ¾ 31 ден.ед. Следует отметить, что при ведении зерна сверх плана в размере 1 ц площадь под зерновыми уменьшится на 0, 0306 га, а под кормовыми корнеплодами ¾ увеличится на 0, 0056 га. В итоге освободится 0, 025 га, или га (заметим, что урожайность зерновых товарных и составляет 40 ц с 1 га), необходимых для производства 1 ц зерна. Кроме того производство мяса свиней снизится на 0, 1341 ц, площадь под зерновыми товарными возрастет на 0, 025 га, или , недоиспользование материально-денежных средств увеличится на 5, 1955 ден.ед. Все эти изменения в итоге приведут к убытку 22, 2556 ден.ед. на каждый центнер сверхпланового зерна.

Модель оптимизации в животноводстве. В основе модели оптимизации кормовых рационов кормления скота лежит базовая модель технологической задачи о смесях (3.2.18)-(3.2.21).

Пример 3.2.10. Необходимо оптимизировать суточный кормовой рацион на стойловый период для дойных коров живой массой 400 – 420 кг с суточным удоем 11 кг молока жирностью 3, 8 %. Для обеспечения такой суточной продуктивности необходимо, чтобы в рационе содержалось питательных веществ не менее: кормовых единиц – 9, 5 кг, перевариваемого протеина – 1005 г, каротина – 400 мг. Сухого вещества должно быть не менее 12 кг и не более 18 кг. Масса отдельных групп кормов в рационе может колебаться: концентраты – от 2 до 3 кг, грубые – от 10 до 15 кг, силос — от 12 до 20 кг, корнеклубнеплоды – от 5 до 8 кг. Удельный вес отрубей в группе концентрированных кормов должен быть не более 25 %, сена в грубых кормах – не менее 30, соломы – не более 20, картофеля в корнеклубнеплодах – не более 10 %. Рацион должен полностью удовлетворять потребность коровы во всех перечисленных питательных веществах при заданном соотношении отдельных видов и групп кормов и одновременно иметь минимальную стоимость. Необходимые данные по видам имеющихся в хозяйстве кормов, содержанию питательных веществ и стоимости приведены в следующей таблице

Таблица

Исходные данные (пример 3.2.10)

Решение. В задаче необходимо найти суточный объем каждого вида корма, обеспечивающий минимальную стоимость суточного рациона. Поэтому в качестве переменных в модели выступают:

х₁ — комбикорм, кг; х₂ — отруби ячменные, кг; х₃ — сено клеверотимофеечное, кг;

х₄ — сено луговое, кг; х₅ — сенаж викоовсяный, кг; х₆ — солома ячменная, кг; х₇ — силос кукурузный, кг; х₈ — силос подсолнечниковый, кг; х₉ — кормовая свекла, кг; х₁₀ — картофель, кг.

Запишем условия задачи по экономическому содержанию и характеру формализации.

Первая группа ограничений отражает требования к рациону по питательным веществам и показывает, что он должен содержать данное питательное вещество не менее требуемого по норме количества. Сформируем ограничения по кормовым единицам, по перевариваемому протеину, по каротину и по сухому веществу:

0, 9х₁+0, 7х₂+0, 5х₃+0, 42х₄+0, 32х₅+0, 36х₆+0, 18х₇+0, 16х₈+0, 12х₉+0, 3х₁₀ ≥ 9, 5;

112х₁+109х₂+52х₃+48х₄+38х₅+12х₆+13х₇+15х₈+9х₉+16х₁₀ ≥ 1005;

0х₁+1х₂+30х₃+15х₄+40х₅+4х₆+15х₇+15х₈+0х₉+0х₁₀ ≥ 400;

0, 87х₁+0, 87х₂+0, 83х₃+0, 85х₄+0, 45х₅+0, 85х₆+0, 26х₇+0, 24х₈+0, 13х₉+0, 23х₁₀≥ 12.

Вторая группа ограничений отражает требования обеспечения содержания сухого вещества в рационе не более допустимого количества:

0, 87х₁+0, 87х₂+0, 83х₃+0, 85х₄+0, 45х₅+0, 85х₆+0, 26х₇+0, 24х₈+0, 13х₉+0, 23х₁₀≤ 18

Третья группа ограничений отражает физиологически допустимые пределы скармливания кормов:

х₁ + х₂ ≥ 2;

х₁ + х₂ ≤ 3;

х₃ + х₄ + х₅ + х₆ ≥ 10;

х₃ + х₄ + х₅ + х₆ ≤ 15;

х₇ + х₈ ≥ 12;

х₇ + х₈ ≤ 20;

х₉ + х₁₀ ≥ 5;

х₉ + х₁₀ ≤ 8.

Четвертая группа ограничений отражает физиологические, зоотехнические или экономические требования по удельному весу отдельных видов кормов внутри однородных групп:

х₂ ≤ 0, 25 (х₁ + х₂);

- х₁ + 3 х₂ ≤ 0;

х₃ + х₄ ≥ 0, 3 (х₃ + х₄ + х₅ + х₆);

х₆ ≤ 0, 2 (х₃ + х₄ + х₅ + х₆);

х₁₀ ≤ 0, 1 (х₉ + х₁₀).

И, конечно же, неотрицательность переменных:

Запишем целевую функцию по стоимости рациона, которая должна быть минимальной и в итоге модель задачи примет вид:

f(x) =10x₁+8, 8x₂+2, 8x₃+3x₄+1, 5x₅+1, 4x₆+2, 2x₇+1, 7x₈+3, 4x₉+10x₁₀ → min

0, 9х₁+0, 7х₂+0, 5х₃+0, 42х₄+0, 32х₅+0, 36х₆+0, 18х₇+0, 16х₈+0, 12х₉+0, 3х₁₀ ≥ 9, 5;

112х₁+109х₂+52х₃+48х₄+38х₅+12х₆+13х₇+15х₈+9х₉+16х₁₀ ≥ 1005;

0х₁+1х₂+30х₃+15х₄+40х₅+4х₆+15х₇+15х₈+0х₉+0х₁₀ ≥ 400;

0, 87х₁+0, 87х₂+0, 83х₃+0, 85х₄+0, 45х₅+0, 85х₆+0, 26х₇+0, 24х₈+0, 13х₉+0, 23х₁₀≥ 12;

0, 87х₁+0, 87х₂+0, 83х₃+0, 85х₄+0, 45х₅+0, 85х₆+0, 26х₇+0, 24х₈+0, 13х₉+0, 23х₁₀≤ 18;

х₁ + х₂ ≥ 2;

х₁ + х₂ ≤ 3;

х₃ + х₄ + х₅ + х₆ ≥ 10;

х₃ + х₄ + х₅ + х₆ ≤ 15;

х₇ + х₈ ≥ 12;

х₇ + х₈ ≤ 20;

х₉ + х₁₀ ≥ 5;

х₉ + х₁₀ ≤ 8;

х₂ ≤ 0, 25 (х₁ + х₂);

- х₁ + 3 х₂ ≤ 0;

х₃ + х₄ ≥ 0, 3 (х₃ + х₄ + х₅ + х₆);

х₆ ≤ 0, 2 (х₃ + х₄ + х₅ + х₆);

х₁₀ ≤ 0, 1 (х₉ + х₁₀)

Данную задачу решаем на ПЭВМ и получаем следующий оптимальный план:

х₁ =1.5; х₂ = 0.5; х₃ = 7.26; х₄ = 0; х₅ = 4.56; х₆ = 0.5174; х₇ = 0; х₈ = 12; х₉ = 5; х₁₀ = 0. Значения двойственных переменных: у₁ =4.19; у₂ =0.01; у₃ =0; у₄ =0; у₅ =0; у₆ =4.98; у₇ =0; у₈ =0; у₉ =0; у₁₀ =0, 87; у₁₁ =0; у₁₂ =2, 8; у₁₃ =0; у₁₄ =0; у₁₅ =0, 08; у₁₆ =0, 23; у₁₇ =0; у₁₈ =0. При этом значение функции будет равно f(min)=84, 71.

Мы приведем анализ результатов решения.

Ответ. Оптимальный рацион для коровы включает корма (кг): комбикорм ¾ 1, 5, отруби ячменные ¾ 0, 5, сено клеверотимофеечное ¾ 7, 26, сенаж викоовсяный ¾ 4, 56, солому ячменную ¾ 0, 5174, силос подсолнечниковый ¾ 12, кормовую свеклу ¾ 5. Стоимость рациона составит 84, 71 ден.ед. Корма вошедшие в оптимальный рацион, содержат питательные вещества требуемого количества. Сухого вещества рацион включает 13, 74 кг, это на 1, 74 кг больше минимальной потребности, в то же время на 4, 205 кг меньше возможного их содержания по верхней границе. Соблюдены все условия по структуре рациона. Все группы кормов вошли в оптимальный рацион в минимально допустимом количестве, за исключением грубых, поскольку последние имеют сравнительно низкую цену за 1 кг. Соблюдены также условия по удельному весу отдельных видов кормов в соответствующих группах. Так, условиями задачи предусмотрен удельный вес отрубей в концентратах не выше 25%. В оптимальный план отруби вошли в количестве 0, 5 кг, что и составляет 25% концентратов [0, 5/(0, 5+1, 5)]. Отруби в данном примере дешевле, чем комбикорм, и если бы их удельный вес не был ограничен в задаче, комбикорм не вошел бы в оптимальный план.

Двойственная оценка ограничения по кормовым единицам показывает, что каждая дополнительная кормовая единица в рационе свыше заданного количества ¾ 9, 5 ¾ повысит стоимость рациона на 4, 19 ден.ед. Концентрированные корма были заданы в интервале от 2 до 3 кг. В оптимальный план они вошли по нижней границе. Если же нижнюю границу потребления концентратов снизить на 1 кг, то стоимость рациона снизится на величину двойственной оценки, то есть на 4, 98 ден.ед. Аналогичный смысл имеют двойственные оценки ограничений по силосу и корнеклубнеплодам: при уменьшении их на 1 кг рацион будет дешевле соответственно на 0, 87 и 2, 8 ден.ед., если же концентрированные корма увеличить на 1 кг, рацион станет дороже на величину соответствующих двойственных оценок.

Замечание. Структура модели примера 3.2.10 в отличие от базовой модели не включает ограничения вида (3.2.19), поскольку в качестве переменных модели выступают не относительные величины (доли), а абсолютные величины (объемы кормов в суточном рационе).

К задаче оптимизации кормовых рационов близка другая задача ¾ оптимизации кормосмесей. Особенность ее математической формализации состоит в том, что состав кормов по питательным веществам рассчитывается на единицу массы (1 ц, 1 кг, 100 г), а не на суточную потребность животного, как при оптимизации рациона. Как правило, вводится ограничение по общему количеству сырого протеина, по отношению к которому устанавливается удельный вес различных аминокислот.

Можно выделить еще один класс задач относящихся к задачам оптимизации в животноводстве ¾ это моделирование годового оборота стада крупного рогатого скота. Оборот стада имеет важное организационно-хозяйственное значение, так как на основе этого показателя определяют возможности отрасли по выполнению плана производства и реализации продукции, рост поголовья, потребность в кормах, рабочей силе, постройках, фонд заработной платы и другие показатели. При моделировании оборота стада важно учесть все условия, влияющие на изменения в половозрастных группах животных за определенный период.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Что такое оптимизационная модель?

2. Какой класс экономических задач решают оптимизационные модели?

3. Дайте характеристику этапов построения оптимизационной модели.

4. В чем проблема информационного обеспечения оптимизационной модели?

5. С какой целью проводится анализ оптимизационной модели на устойчивость?

6. Сформулируйте задачу оптимизации производственной программы предприятия и приведите базовую модель для ее решения.

7. Сформулируйте задачу на максимум загрузки промышленного оборудования и приведите базовую модель для ее решения.

8. Сформулируйте задачу развития и размещения промышленного производства и приведите базовую модель для ее решения.

9. Сформулируйте технологическую задачу оптимального раскроя промышленных материалов и приведите базовую модель для ее решения.

10.Сформулируйте технологическую задачу на оптимальное составление смесей и приведите базовую модель для ее решения.

11.Сформулируйте общую постановку задачи линейного программирования.

12.В чем заключается геометрическая интерпретация задачи линейного программирования?

13.В чем суть симплексного метода?

14.Что такое двойственная задача в линейном программировании?

15.Перечислите связи существующие между элементами моделей пары двойственных задач линейного программирования.

ТЕСТЫ

1. Оптимизационная модель –это модель, которая

а) охватывает некоторое число вариантов производства, распределения или потребления продукции и предназначена для выбора наилучшего из этих вариантов;

б) охватывает некоторое число вариантов производства, распределения или потребления продукции и предназначена для выбора таких значений переменных, характеризующих эти варианты, чтобы был найден наилучший из них;

в) охватывает некоторое число вариантов производства, распределения или потребления продукции и предназначена для выбора таких значений переменных, которые обеспечивают выбор наиболее сбалансированного варианта.

2. В основе математического обеспечения оптимизационных моделей лежит:

а) линейная алгебра;

б) математическая статистика;

в) математическое программирование.

3. Анализ двойственных оценок оптимизационной модели позволяет определить:

а) степень дефицитности ресурсов;

б) интервалы изменения входной информации, при которых оптимальное решение не изменяется;

в) интервалы изменения входной информации, при которых значение целевой функции увеличивается на единицу.

4. Экономический эффект от реализации оптимального решения достигается:

а) за счет экономии материальных ресурсов;

б) за счет эффективной организации системы производства;

в) за счет роста производительности труда.

5. Что является результатом решения задачи оптимизации производственной программы:

а) достижение целевой функции при минимальных затратах ресурсов;

б) структура производственной программы, на которой обеспечивается достижение целевой функции;

в) объем производства, на котором обеспечивается достижение целевой функции.

6. Что является целевой функцией модели задачи на максимум загрузки промышленного оборудования:

а) максимум фонда времени работы оборудования;

б) минимум неиспользованного остатка полезного фонда времени работы оборудования

в) полное использование полезного фонда времени работы оборудования.

7. Что является целевой функцией модели задачи развития и размещения производства:

а) минимум суммарных затрат на транспортировку продукции;

б) минимум суммарных затрат на производство продукции;

в) минимум суммарных затрат на производство и транспортировку продукции.

8. Отличие базовой модели транспортной задачи и модели многопродуктовой транспортной задачи в условиях взаимозаменяемости грузов состоит:

а) изменении размерности и структуры транспортной матрицы;

б) изменение структуры ограничений модели;

в) изменение вида целевой функции.

9. Отличие базовой модели транспортной задачи и модели многоэтапной транспортной задачи в условиях, когда суммарные мощности складов превышают суммарные потребности потребителей и мощности поставщиков, состоит в:

а) изменении размерности и структуры транспортной матрицы;

б) изменении структуры ограничений модели;

в) изменении вида целевой функции.

10. Целевой функцией модели технологической задачи оптимального раскроя промышленных материалов является:

а) минимум израсходованных листов материала;

б) минимум концевых отходов;

в) минимум затрат на производство заготовок.

11. Модель задачи на смеси включает ограничения:

а) сумма долей составляющих смеси равна 1;

б) ограничения на запасы материальных ресурсов для производства смеси;

в) ограничения на соблюдение заданного уровня технологического состава смеси.

12. Решение оптимизационной модели средствами EXCEL возможно с помощью команд:

а) Поиск решения;

б) Анализ данных;

в) МОБР.

13. Графическим методом можно решить задачу когда:

а) число переменных равно двум;

б) число переменных равно трем и более без дополнительных условий;

14. Область допустимых решений задачи линейной оптимизации с двумя переменными:

а) может быть точкой;

б) может быть лучом;

в) может быть пустым множеством;

г) может быть овалом;

д) может быть выпуклым многоугольником.

15. В основу симплекс-метода положена следующая идея:

а) рассматриваются только крайние точки (вершины) многогранника;

б) рассматривается внутреннее множество точек многогранника;

в) рассматриваются все множество точек многогранника.

16. Экстремальные значения целевых функций исходной (прямой) и двойственной задач линейной оптимизации:

а) равны между собой;

б) максимальное значение целевой функции исходной задачи больше значений целевой функции двойственной задачи.

в) максимальное значение целевой функции исходной задачи меньше значения целевой функции двойственной задачи.

17. Между переменными прямой и двойственной задачи можно:

а) произвести замену переменных;

б) установить взаимно однозначное соответствие;

в) установить взаимозаменяемость переменных.