Общий вид и свойства системы уравнений

Система т линейных уравнений с п неизвестными (пере­менными) x ₁, x ₂,..., x_п имеет вид

Здесь a_ij и b_i — произвольные числа (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), которые называются соответственно коэффици­ентами при неизвестных и свободными членами уравнений (15.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных озна­чает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру не­известного x_i.

Решением системы уравнений (15.1) называется набор п чисел x ₁ = α ₁, x ₂ = α ₂, …, x_n = α _n, при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (15.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (15.1) называются эквивалент­ными, если они имеют одно и то же множество решений. Эле­ментарные преобразования исходной системы приводят к эк­вивалентной системе. К элементарным преобразованиям отно­сятся:

— вычеркивание уравнения 0 x ₁ + 0 x ₂ +... + 0 х_n = 0 — нулевой строки;

— перестановка уравнений или слагаемых a_ijx_j в уравне­ниях;

— прибавление к обеим частям одного уравнения соответ­ственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;

— удаление уравнений, являющихся линейными комбина­циями других уравнений системы.

Последнее свойство вытекает из третьего свойства: если какое-либо уравнение представляет собой линейную комбина­цию других уравнений, то из него можно сформировать нуле­вую строку.