Инструкция. Для того чтобы начертить прямую, необходимы две точки

Для того чтобы начертить прямую, необходимы две точки. Именно с них начинается построение линии. У каждой точки на плоскости есть две координаты: х и у. Они будут являться параметрами уравнения прямой: у = k*х ±b, где k и b – это свободные числа, х и у – координаты точек прямой.

Для того чтобы найти координату у, вам необходимо задать некоторое значение для координаты х и подставить ее в уравнение. При этом значение координаты х может быть любым из всей бесконечности чисел, как положительным, так и отрицательным. Благодаря уравнению прямой, можно не только построить нужную вам прямую линию, но и узнать, под каким углом она расположена, в какой части координатной плоскости находится, является она убывающей или возрастающей.

Рассмотрите такой пример. Пусть дано уравнение: у = 3х-2. Возьмите два любых значения для координаты х, допустим х1 = 1, х2 = 3. Подставьте эти значения в уравнение прямой: у1 = 3*1-2 = 1, у2 = 3*3-2 = 7. В вас получатся две точки с различными координатами: А (1; 1), В (3; 7).

Затем отложите полученный точки на координатной оси, соедините их и вы увидите прямую, которую необходимо было построить по заданному уравнению. Предварительно вам следует начертить в декартовой системе координат оси Х (ось абсцисс), расположенную горизонтально, и У (ось ординат), расположенную вертикально. На пересечении осей отметьте «ноль». Затем отложите числа по горизонтали и вертикали.

После этого переходите к построению. Принцип построения довольно прост. Сначала отметьте первую точку А. Для этого отложите на оси Х число 1 и на оси У это же число, поскольку точка А имеет координаты (1; 1). Аналогичным образом постройте точку В, отложив по оси Х три единицы, а по оси У – семь. Вам останется только в помощью линейки соединить полученные точки и получить требуемую прямую.

64. операции над матрецами

Операции над матрицами,

1.сложение

2.умножение.

3.трансонирование.

(ниже подробно)

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Пример. Даны матрицы А =; B =, найти 2А + В.

2А =, 2А + В =.

Операция умножения матриц

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A× B = C;

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А× Е = Е× А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A× O = O; O× A = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

65. беспорядок между двумя индексными парами

66. определитель квадратной матрицы

Определителем квадратной матрицы (det A) называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

, где М_1k - определитель матрицы (детерминант), полученной из исходной матрицы вычеркиванием первой строки и k - oго столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Первая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя матрицы по первому столбцу:

Вообще говоря, определитель матрицы может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители. Определитель единичной матрицы равен 1. Для указанной матрицы А число М_1k называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

67. определитель второго порядка

определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

68. определитель 3 порядка

Для определителя 3-го порядка имеет место теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме произведений элементов какого –либо ряда определителя на их алгебраические дополнения.

69. свойства определителя

1. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
2. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.
3. Если в определителе есть нулевая строка (столбец), то определитель равен нулю.
4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.
5. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

70. Дайте определение минора М_ij элемента матрицы a_ij.

Минор М_ij элемента a_ij матрицы А или определителя этой матрицы называется определитель полученный из определителя |А| путем вычеркивания строки с номером i и стобца j.

71. Дайте определение алгебраического дополнения А_ij.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется число А_ij=(-1)^i-j * М_ij. В этом определении считается, что матрица А – квадратная.

72. Разложение определителя по ряду.

Определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения.

73. Дайте определение обратной матрицы.

Пусть А – квадратная матрица, обратной к ней называется матрица такой же размерности как и А, которая обозначается через А^-1 и удовлетворяет равенству: А*А^-1=А^-1*А=Е. Е называется единичной матрицей.

74. Теорема аннулирования.

Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого ряда определителя равна 0(ноль).

75. Формула обратной матрицы.

А^-1=(1/|A|)*(тут матрица)^Т

80. Дайте определение расширенной матрицы СЛАУ

Для любой СЛАУ мы можем составить её матрицу: матрицей размера mn, составленная из коэффициентов Аij СЛАУ, называется матрицей СЛАУ (матрица А)

Если В – это матрица-столбец, составленная из свободных членов СЛАУ, то матрица (А|В) называется расширенной матрицей СЛАУ:

81. Дайте определение однородной СЛАУ

СЛАУ называется однородной, если все b=0. Если хотя бы одно b не равно 0, то СЛАУ неоднородна.

82. Дайте определение определенной СЛАУ

СЛАУ называется определенной, если она имеет единственное частное решение.

83. Дайте определение частного решения СЛАУ

Частным решением СЛАУ называется набор значений неизвестных, при подстановке которого в СЛАУ все уравнения системы обращаются в верные равенства.

84. Дайте определение общего решения СЛАУ

Общим решением СЛАУ называется множество всех её решений или формула, которая задаёт множество всех решений СЛАУ.

85. Т 3.10.1 Матричная форма записи СЛАУ

Любое СЛАУ можно записать Ax=b, где A – матрица системы, b – вектор правых частей.

Вид имеет как первое задание в к.р., т.е. матрица A * на столбец иксов = столбцу б

86. Т 3.10.2 Решение СЛАУ в матричной форме

Если в СЛАУ число неизвестных и число уравнений равны и определитель |A| не равен 0, то x=A^(-1)*b

87. T 3.10.3 Формулы Краммера

Применяется, когда число уравнений равно числу неизвестных и определитель не равен 0

X1=дельта1/дельта Х2=дельта2/дельта Х3=дельта3/дельта

Дельта = определителю |A|

Дальнейшие дельты находятся подстановкой б-вектора в нужный столбец.

88. Какие преобразования СЛАУ называются эквивалентными?

1. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) на постоянную.

2. Изменение положения некоторой строки (столбца).

3. Замена какой-либо строки (столбца) линейной комбинацией строк или столбцов, включающих исходную строку либо столбец.

4. вычеркивание нулевой строки (столбца)

89. Какие преобразования можно проводить над расширенной матрицей СЛАУ в методе Гаусса?

1) Перестановка строк

2) Умножение строки на любое число не равное 0

3) Прибавление любой строки, умноженной на любое число, к любой строке

90. Дайте определение стандартной матрицы СЛАУ.

----- Не могу найти этого и сомневаюсь, какая является стандартной. Узнаем в понедельник.