Ряды Тейлора и Маклорена

Прежде чем говорить о рядах Тейлора выведем формулу Тейлора.

Предположим, что функция имеет все производные до го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку . Найдем многочлен степени не выше , значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до го порядка в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке

. (13)

Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .

Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням с неопределенными коэффициентами

. (14)

Коэффициенты определим так, чтобы удовлетворялись условия (13). Предварительно найдем производные от

(15)

Подставляя в левые и правые части равенства (14) и (15) вместо значение и заменяя на основании равенства (13) через , через и т.д., получим:

откуда находим

(16)

Подставляя найденные значения в формулу (14), получим

. (17) Обозначим через разность значений данной функции и построенного многочлена : , откуда , или в развернутом виде

Последнее выражение называется формулой Тейлора.

Допустим, что в рассматриваемой окрестности точки , тогда, переходя к пределу, справа получим бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора: (18)

Если в ряде Тейлора положим , то получим частный случай ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена:

(19)

На примере покажем разложение функции в ряд Маклорена.

Подставив полученные значения в формулу (19), получим:

Поступая аналогичным образом, получим разложение в ряд Маклорена функций: