Свободные оси вращения

Момент импульса тела в произвольном случае его вращения не совпадает по направлению с вектором угловой скорости вращения. Тем не менее, существует такие оси, при вращении вокруг которых момент импульса и угловая скорость по направлению сов­падают. Такие оси называются главными осями инерции (свободными осями вращения). Таких осей в каждом теле три, все они взаимноперпендикулярны и проходят через центр масс тела, поэтому их удобно принимать в качестве системы отсчета для каждой из этих осей

, , .

В случае произвольного по форме тела легко показать, что и (омега) не совпадает по направлению (рис. 62).

Кинетическая энергия тела при таком вращении может быть представлена суммой энергий вращения вокруг трех главных осей:

или:

или:

или:

Направление векторов и можно указать заданием направляющих косинусов, например:

очевидно, что направления и совпадают в том слу­чае, если:

(267)

Твердое тело, отвечающее условию (267), называется шаровым волчком. Твердое тело, у которого , называется симметричным волчком с осью симметрии .

Твердое тело, у которого все три главных момента инерции различны, называет несимметричным волчком .

СВОБОДНОЕ ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Свободным называют такое вращение тела, при котором сумма моментов внешних сил, приложенных к телу, равна нулю:

Отсюда следует, что при свободном вращении:

Рассмотрим свободное вращение симметричного волчка с осью симметрии .Кинетическая энергия для него равна:

В этом выражении первое слагаемое постоянно, следовательно, постоянно и второе, т.е.:

(268)

Учитывая, что получаем:

(269)

Написав выражение для кинетической энергии в виде:

делаем вывод, что:

(270)

наконец, кинетическую энергию представим в виде:

(271)

где a - угол между векторами и .Из (271) следует, что,

(272)

Учитывая (269), (270), (271), (272) свободное вращение тела можем представить как вращение оси симметрии тела вокруг неподвижного направления . При этом относительное расположение , и со временем сохраняется (рис.53). Такое вращение при отсутствии моментов внешних сил называется регулярной прецессией. Тело вращается вокруг оси симметрии со скоростью , a сама ось описывает коническую поверхность, вращаясь вокруг неподвижного направления с угловой скоростью прецессии .

(рис. 63)

Т. o. для вращающегося тела можно выделить три оси - момента импульса., угловой скорости и оси симметрии. Существенно, что относительное расположение этих осей зависит от величины угловой скорости вращения тела вокруг оси симметрии . Не­сложно доказать, что при очень быстром вращении тела все три направления практически сливаются в одно. Эта особенность быстро вращающихся тел лежит в основе элементарной теории гироскопов.