Линейные системы общего вида.

Рассмотрим систему:

m и n – произвольные натуральные числа. Является ли такая система совместной или несовместной?

Будет ли система, в случае её совместности, определённой или неопределённой?

Как решить такую систему?

Выделим в матрице систему

О-Е: Определитель, образованный из элементов матрицы А, состоящих на пересечении выделенных «к» строк и «к» столбцов, называются минором «к»-го порядка матрицы А.

О-Е: Рангом матрицы называется наивысший порядок её миноров, отличных от нуля. Обозначаются r, r_А.

Ранг матрицы равен нулю, если все элементы матрицы равны нулю.

Обозначим ранг расширенной матрицы r_В. Очевидно, что r_А £ r_B, r_А £ m, r_А £ n.

Замечание: Если все миноры к-го порядка равны нулю все миноры более высоких порядков.

Теорема 1: При элементарных преобразованиях и отбрасывании нулевой строки ранг матрицы не изменяется.

Теорема 2: Ранг ненулевой матрицы равен числу строк ее ступенчатой матрицы.

Теорема: (Кронекера-Капелли): Система линейных уравнений совместна , когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, причем решение будет единственным (т.е. система определенной), если этот ранг равен числу неизвестных.

Т.О. 1) r_А = r_B – система совместна (имеет хотя бы отдно решение)

2) r_А = r_B = n – определённая система (имеет единственное решение)

3)r_А = r_B < n – неопределённая система (имеет бесчисленное множество решений)

4)r_А ¹ r_B – система несовместная

Пример: найти ранг матрицы и решить её:

Т.к. М=

Иначе: число строк в А₁ равно 2 => r_А=2.

Пример: решить однородную систему: