Примеры решения задач. Пример 1. Определить число атомов N, содержащихся в 1 кг гелия

Пример 1. Определить число атомов N, содержащихся в 1 кг гелия. Найти массу m₀ одного атома гелия.

Решение: Поскольку гелий – одноатомный газ, то число атомов в данной массе газа

, (1)

где n = m /М – количество молей вещества, М – молярная масса, m – масса газа, N_А – число Авогадро.

Найдём искомое число атомов .

Для определения массы m₀ одного атома массу m газа разделим на число атомов N в нём: .

Ответ: N = 1, 5·10²⁶; m_o = 6, 67·10^–26 кг.

Пример 2. Считая водород в солнечной фотосфере (внешней видимой оболочке Солнца) идеальным газом, определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения атомов водорода. Концентрация атомов водорода в фотосфере n = 1, 6∙ 10²¹ м^–3, давление
Р = 1, 25∙ 10² Па.

Дано: n = 1, 6∙ 1021 м–3; Р = 1, 25∙ 102 Па. Найти: .

Решение: Связь между давлением р идеального газа, концентрацией n и средней кинетической энергиейтеплового движения частиц выражается основным уравнением молекулярно-кинети-ческой теории:

, (1)

Отсюда

. (2)

Следовательно, .

Ответ: = 1, 2∙ 10^–19 Дж.

Пример 3. Найти наиболее вероятную υ _в, среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул водорода при температуре 27 ^oС.

Дано: t = 27 oC; Т = 300 К; МН2 = 2∙ 10-3 кг/моль. Найти: υ в; ; .

Рис. 1

Решение: В газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется статистическому распределению Максвелла.

Распределение Максвелла (рис. 1) позволяет определить относительное число молекул ∆ N(υ)/N, скорости которых лежат в интервале от υ до υ +∆ υ.

Скорость υ _в, которой соответствует максимум кривой распределения Максвелла, называют наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней при данной температуре обладает наибольшее число молекул.

Наиболее вероятную скорость найдем по формуле

, (1)

где R – молярная газовая постоянная, Т – абсолютная температура,
М – масса одного моля газа.

Произведём вычисления: .

Средняя арифметическая скорость по определению равна отношению суммы скоростей всех молекул к числу молекул:

. (2)

Из закона распределения Максвелла средняя арифметическая скорость молекул определяется следующим образом:

. (3)

Следовательно, .

Если газ в объёме V содержит N молекул, движущихся со скоростями u₁, u₂,..., u_N, то средняя квадратичная скорость

. (4)

Средняя квадратичная скорость определяет среднюю кинетическую энергию движения молекулы. Средняя кинетическая энергия поступательного движения связана с температурой Т формулой

. (5)

С другой стороны может быть определена по формуле

. (6)

Сравнивая (5) и (6), находим :

. (7)

Отсюда .

Ответ: υ _в = 1, 58 км/с; = 1, 94 км/с.

Пример 4. Считая водяной пар массой m = 180 г при температуре
t = 127 ^oС идеальным газом, определить: энергию, приходящуюся на одну степень свободы молекулы ; среднюю кинетическую энергию поступательного и среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы водяного пара, а также кинетическую энергию W всех молекул водяного пара и его внутреннюю энергию U.

Дано: m = 180 г = 180∙ 10-3 кг; t = 127 oС; Т = 400 К; М = 18∙ 10-3 кг/моль. Найти: ; ; ; W; U.

Решение: По закону Больцмана энергия равномерно распределяется по степеням свободы. На одну степень свободы приходится энергия

, (1)

где k – постоянная Больцмана.

Отсюда .

Для идеальных одноатомных газов (атомарного кислорода, атомарного азота, атомарного водорода, гелия) учитываются только три степени поступательного движения (i = 3). Для двухатомных газов (например, молекулярного кислорода, молекулярного водорода) учитываются три степени поступательного движения и две степени вращательного движения (i = 5). Для газов, молекулы которых состоят из трёх и более атомов, учитываются три степени поступательного движения и три степени вращательного движения молекул (i = 6).

Так как молекула водяного пара является трёхатомной, то обладает тремя степенями свободы поступательного движения и тремя степенями свободы вращательного движения.

Следовательно, средняя энергия поступательного движения одной молекулы водяного пара

. (2)

Произведя вычисления, получим:

.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения одной молекулы водяного пара

. (3)

Отсюда .

Полная энергия одной молекулы водяного пара равна сумме энергий поступательного и вращательного движения:

. (4)

Поэтому .

Полная кинетическая энергия всех N молекул водяного пара выражается соотношением:

. (5)

Если учесть, что число молекул N системы равно произведению постоянной Авогадро N_A на количество вещества ν, то равенство (5) можно записать в виде:

. (6)

Отсюда .

По определению, внутренняя энергия идеального газа равна полной кинетической энергии всех его молекул, то есть U = 99, 7 Дж.

Ответ: ‹ e₁ ›= 2, 76∙ 10^-21 Дж; ‹ e_П ›= 8, 28·10^-21 Дж; ‹ e_вр ›= 8, 28·10^-21 Дж;
W = U = 99, 7 кДж.

Пример 5. Определить плотность смеси газов, состоящей из
5 моль азота и 10 моль кислорода. Смесь содержится в баллоне при температуре t = 17 ^oС и давлении Р_см = 0, 25 МПа.

Решение: Согласно определению плотность газовой смеси

ρ = (m₁ + m₂) / V, (1)

где m₁ и m₂ – массы азота
и кислорода соответственно,
V – объём баллона.

Выразим массу каждого газа через количество вещества n и молярную массу M

m₁ = ν ₁M₁, m₂ = ν ₂M₂. (2)

Для определения объёма смеси в баллоне воспользуемся уравнением Клапейрона–Менделеева

Р_смV= (ν ₁ + ν ₂) RT = (m₁/M₁+ m₂/M₂) RT,

где R – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура.

Объём смеси в баллоне

V = (ν ₁ + ν ₂) RT / Р_см. (3)

Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим

. (4)

Найдем искомую плотность:

.

Ответ: r = 3, 18 кг/м³.

Пример 6. Определить среднюю длину свободного пробега и среднюю частоту столкновений молекул воздуха при температуре
t = 0 °С и давлении р = 1, 01 Па. Принять эффективный диаметр молекулы воздуха равным d = 2, 9·10^{-8 см.}

Дано: t = 0 oС; Т = 273 К; р = 1, 01 Па; d = 2, 9·10-8 см = 2, 9·10-10 м. Найти: ; .

Решение: Средняя длина свободного пробега молекулы выражается формулой

, (1)

где п – концентрация молекул (отношение числа молекул к объёму газа, в котором они заключены).

Найдем неизвестную концентрацию молекул, используя основное уравнение молекулярно-кинетической теории и определение средней энергии поступательного движения молекулы газа :

, (2)

, (3)

где р – давление газа, k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура газа.

С учётом уравнений (2) и (3) формула (1) примет вид

. (4)

Отсюда искомая длина свободного пробега молекулы

.

Средняя частота столкновений молекул газа связана с длиной свободного пробега соотношением

, (5)

где – средняя арифметическая скорость молекул.

Её можно определить по формуле

, (6)

где R – молярная газовая постоянная, М – молярная масса воздуха.

Подставив (6) в (5), находим

. (7)

Вычислим частоту столкновений

.

Ответ: = 1 см; = 4, 46·10⁴ с^-1.

Пример 7. Найти, при каком градиенте плотности углекислого газа через каждый квадратный метр поверхности почвы продиффундирует в атмосферу в течение t = 1 ч газ массой m = 720 мг, если коэффициент диффузии D = 0, 04 см²/с.

Решение: Масса газа, переносимая в результате диффузии, определяется законом Фика:

, (1)

где D – коэффициент диффузии; ∆ ρ /∆ x – градиент плотности, т.е. изменение плотности, приходящееся на 1 м толщины слоя почвы;
S – площадь поверхности слоя; t – длительность процесса.

Из (1) выразим искомый градиент плотности

. (2)

Произведём вычисления:

.

Отрицательное значение градиента плотности соответствует сущности процесса диффузии: зависимость плотности от расстояния в направлении движения диффундирующей массы выражается убывающей функцией, градиент которой – отрицательная величина.

Ответ: ∆ ρ /∆ x = –0, 05 кг/м⁴.

Пример 8. Определить количество теплоты, теряемое через бетонные стены склада площадью S = 50 м² за время t = 1 мин, если в помещении температура стены t₁ = 15 °C, а снаружи t₂ = –10 °С. Толщина стен ∆ x = 25 см.

Решение: Количество теплоты, передаваемое за счёт теплопроводности стен, выражается законом Фурье:

, (1)

где λ – теплопроводность материала стены; ∆ T/∆ x – градиент температуры, т.е. изменение температуры, приходящееся на 1м толщины стены; S – площадь поверхности стены; t – время процесса.

Подставим числовые значения величин в формулу (1) и вычислим теряемое количество теплоты:

.

Ответ: Q = 245 кДж.

Пример 9. При изобарном нагревании некоторого газа массой
m = 0, 5 кг на ∆ Т = 10 К требуется на 1, 48 кДж количества теплоты больше, чем при изохорном нагревании. Определить для этого газа удельные теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме . Какой это газ?

Дано: m = 0, 5 кг; ∆ Т = 10 К; ∆ Q = 1, 48 кДж =1, 48· 103Дж. Найти: М; ; .

Решение: В соответствии с первым началом термодинамики при изобарном нагревании газ получает количество теплоты Q_Р:

Q_Р = ∆ U + A, (1)

где ∆ U – изменение внутренней энергии газа, А – работа, совершённая газом.

При изобарном расширении

А = р ∆ V, (2)

где р – давление газа, ∆ V – изменение объёма газа.

Используя уравнение Клапейрона–Менделеева , записываем:

, (3)

где R – молярная газовая постоянная.

При изохорном нагревании газ работу не совершает и полученное им количество теплоты Q_V расходуется только на увеличение внутренней энергии газа ∆ U, поэтому

Q_V = ∆ U. (4)

С учётом выражений (2), (3) и (4) уравнение (1) примет вид

. (5)

По условию задачи ∆ Q = Q_Р – Q_V, следовательно

. (6)

Выразим молярную массу газа М:

. (7)

Рассчитываем .

Данную молекулярную массу имеет молекулярный азот N₂ (двухатомный газ, у которого число степеней свободы i = 5).

По определению

, (8)

. (9)

Следовательно, ,

.

Ответ: М = 28∙ 10^–3 кг/моль (азот); ;

Пример 10. Кислород занимает объём V₁ = 1 м³ и находится под давлением р₁ = 200 кПа. Его нагрели сначала при постоянном давлении до объёма V₂ = 3 м³, а затем при постоянном объёме до давления
р₂ = 500 кПа. Построить график процесса и найти: совершённую газом работу А; изменение ∆ U внутренней энергии и количество теплоты Q, переданное газу.

Дано: V1 = 1 м3; V2 = 3 м3; р1 = 200 кПа = 2·105 Па; р2 = 500 кПа = 5·105 Па; М = 32·10-3 кг/моль. Найти: A; ∆ U; Q.

Рис. 2

Решение: На рис. 2 показан график перехода газа из состояния 1 в состояние 3 при изобарном, а затем при изохорном нагревании. На графике точками 1, 2, 3 обозначены состояния газа, характеризуемые параметрами (р₁, V₁, Т₁), (р₂, V₂, Т₂), (р₃, V₃, Т₃).

Изменение внутренней энергии газа при переходе его из состояния 1 в состояние 3 выражается формулой

, (1)

где i – число степеней свободы газа (для кислорода, молекулы которого состоят из двух атомов, i = 5); m – масса газа; М – молярная масса газа;
R – молярная газовая постоянная.

Температуры Т₁ и Т₃ можно найти из уравнения Клапейрона–Менделеева ():

и . (2)

Следовательно, равенство (1) примет вид:

. (3)

Отсюда .

Полная работа, совершаемая газом,

А = А₁₂ + А₂₃, (4)

где А₁₂ – работа газа при изобарном нагревании из состояния 1 в состояние 2; А₂₃ – работа газа при изохорном переходе газа из состояния 2 в состояние 3.

При любом процессе работа может быть найдена графически, как площадь под кривой конкретного процесса в координатах Р, V. При переходе 1-2 работа А₁₂ равна площади прямоугольника (заштрихованная часть графика на рис. 2):

А = р₁∆ V = p₁ (V₂– V₁). (5)

В изохорном процессе объем газа не изменяется, поэтому работа
А₂₃ = 0. Таким образом,

А = А₁₂= p₁ (V₂ – V₁). (6)

В результате вычислений получим:

А = 2∙ 10⁵∙ (3–1) Дж = 4∙ 10⁵ Дж = 0, 4 МДж.

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, переданное газу, расходуется на изменениевнутренней энергии ∆ U и на совершение газом работы А:

Q = ∆ U + А. (7)

Подставляя в (7) значения величин, получим Q = 3, 65 МДж.

Ответ: А = 0, 4 МДж; ∆ U = 3, 25 МДж; Q = 3, 65 МДж.

Пример 11. Воздух, взятый при температуре t₁ = 0 °C, был адиабатно сжат так, что его объём уменьшился в три раза. Определить температуру t₂ воздуха после сжатия.

Дано: t1 = 0 °C; Т = 273 К; . Найти: t2.

Решение: Зависимость между температурой и объёмом при адиабатном сжатии выражается уравнением Пуассона:

, (1)

где T₁, V₁ – термодинамическая температура и объём до сжатия воздуха; T₂, V₂ – те же величины после сжатия воздуха; g – коэффициент Пуассона.

По определению

, (2)

где с_P и с_V – удельные теплоёмкости газа при постоянном давлении и объёме соответственно.

Из теории теплоёмкостей газов известно, что

(3)

и . (4)

Подставив (3) и (4) в (2), получим

g = (i + 2)/i, (5)

где i – число степеней свободы молекулы газа.

Сухой воздух состоит в основном из молекулярных кислорода (О₂) и азота (N₂), для которых i = 5. Следовательно, g = (5 + 2)/5 = l, 4.

Из формулы (1) получим

. (6)

Вычислим температуру конечного состояния:

Т₂ = 273∙ 3^{1, 4–1} К = 273∙ 3^{0, 4} К.

Прологарифмируем обе части равенства (5):

lnT₂ = ln 273 + 0, 4∙ ln 3 = 5, 61 + 0, 4∙ 1, 1 = 10, 01.

Отсюда T₂ = 424 К или t₂ = (Т₂ – 273) ^oС = 151 ^oС.

Ответ: t₂ = 151 ^oС.

Пример 12. Кислород массой m = 0, 45 г имеет в начальном состоянии объём V₁ = 2 л и температуру t₁ = 10 ^oC, а в конечном – объём
V₂ = 10 л и температуру t₂ = 50 ^oC. Найти изменение энтропии ∆ S кислорода при переходе из первого состояния во второе.

Дано: m = 0, 45 г = 0, 45∙ 10-3 кг; = 32∙ 10-3 кг/моль; t1 = 10 °C; Т1 = 283 К; t2 = 50 oC; Т2 = 323 К; V1 = 2 л = 2∙ 10-3 м3; V2 = 10 л = 10∙ 10-3 м3. Найти: ∆ S.

Решение: Изменение энтропии (приведённое количество теплоты) определяется формулой

, (1)

где δ Q – элементарное количество теплоты, сообщённое газу при данной температуре; Т – термодинамическая температура.

В соответствии с первым началом термодинамики для идеального газа элементарное количество теплоты

δ Q = d U + δ A, (2)

где d U – изменение внутренней энергии газа; δ A – элементарная работа газа.

Для идеального газа

, (3)

где m – масса газа; М – молярная масса газа; R – молярная газовая постоянная; i – число степеней свободы (кислород – двухатомный газ,
i = 5).

Элементарная работа расширения газа рассчитывается по формуле

δ A = p d V, (4)

где p – давление газа; d V – элементарное изменение объёма газа.

Давление p можно найти из уравнения Клапейрона–Менделеева:

. (5)

Подставив (3), (4), (5) в (2), определяем количество теплоты δ Q, полученное газом при переходе из состояния 1 в состояние 2:

. (6)

В результате интегрирования изменение энтропии

. (7)

После вычисления найдём

.

Ответ: ∆ S = 0, 19 кДж/К.

Пример 13. Идеальный двухатомный газ, содержащий 1 кмоль количества вещества, совершает замкнутый цикл, график которого приведён на рис. 3. Определить работу А, совершаемую газом за цикл; термический кпдцикла η; количество теплоты Q₂, переданное холодильнику, если в процессах 1-2 и 2-3 газ получает количество теплоты
Q₁ = 7, 6 кДж.

Дано: n = 1 кмоль = 103 моль; Q1 = 7, 6 кДж = 7, 6∙ 103 Дж. Найти: A; η; Q2.

Рис. 3

Решение: Цикл состоит из двух изохор (процессы 1-2, 3-4) и двух изобар (процессы 2-3, 4-1). Общая работа за цикл равна сумме работ, совершаемых в каждом процессе цикла:

А = А₁₂ + A₂₃ + А₃₄ + А₄₁. (1)

При изохорных процессах изменение объёма газа ∆ V = 0, следовательно, работы

А₁₂ = А₃₄ = 0. (2)

При изобарных процессах 2-3, 4-1 работы А₂₃ и А₄₁ можно найти по формулам:

A₂₃ = p₂ ∆ V₂₃ = p₂ (V₃ – V₂), (3)

A₄₁ = p₁ ∆ V₄₁ = p₁ (V₁ – V₄). (4)

Числовые значения давлений и объёмов определяем из графика:
p₁ = 12 кПа; p₂ = 16 кПа; V₁ = V₂ = 2 м³; V₃ = V₄ = 3 м³.

Рассчитаем работы A₂₃ и A₄₁:

A₂₃ = 16∙ 10³ (3 – 2) Дж = 16 кДж, A₄₁ = 12∙ 10³ (2 – 3) Дж = –12 кДж.

Таким образом, работа за цикл

А = (А ₂₃ – А ₄₁) = 4 кДж.

На графике в координатах р, V работа за цикл изображена заштрихованной площадью.

По определению термический коэффициент полезного действия η

, (5)

где Q₁ – количество теплоты, переданное нагревателю, Q₂ – количество теплоты, переданное холодильнику.

Подставляя числовые значения, получим: .

Количество теплоты Q₂, переданное холодильнику, найдём из формулы (5):

Q₂ = (1– η)∙ Q₁, (6)

отсюда Q₂ = (1– 0, 53)∙ 7, 6∙ 10³ Дж = 3, 6∙ 10³ Дж = 3, 6 кДж.

Ответ: А = 4 кДж; η = 53%; Q₂ = 3, 6 кДж.

Пример 14. На какую высоту может подняться вода в капиллярном канале диаметром d = 0, 08 мм в стебле ржи? Смачивание считать полным.

Дано: d = 0, 08 мм = 8∙ 10-5 м; s = 73 мН/м = 73∙ 10-3 Н/м; r = 1000 кг/ м3. Найти: h.

Рис. 4

Решение: По условию задачи вода полностью смачивает стебель. Со стороны стебля на каждый бесконечно малый элемент длины линии соприкосновения воды со стеблем действует сила, направленная вверх (рис. 4). Результирующая всех сил, действующих на линию соприкосновения, также направлена вверх и определяется по формуле

F = 2π sr, (1)

где r – радиус капилляра, s – коэффициент поверхностного натяжения воды.

Сила F вызывает подъём воды в капилляре до тех пор, пока не будет уравновешена силой тяжести, действующей на весь поднятый столб воды. Условием равновесия является равенство

F = mg. (2)

Масса поднятого столба воды

m = Vr = π r²hr, (3)

где r – плотность воды, V – объём поднятого слоя.

С учётом (1) и (3) формула (2) примет вид:

2 π sr = π r²hgr. (4)

Отсюда

. (5)

Рассчитываем высоту поднятия воды в стебле ржи:

.

Ответ: h = 36, 5 см.

Основы электродинамики (электростатика, постоянный ток)