И ее комплексными функциями

Чтобы установить связь между параметрами цепи и ее вход­ными и передаточными комплексными функциями, рассмотрим схему (рис. 6.2).

Пусть к входным зажимам k — k' пассивной линейной цепи, не содержащей внутренние независимые источники энергии, подклю­чен источник сигнала с э.д. с. I⅛ и внутренним сопротивлением Z_BH. При этом на входе цепи действуют напряжение U⅛ и ток I ⅛, а на выходе, т. е. на любом интересующем нас ее элементе Z\, — напряжение U; и ток I /. Найдем соотношения между этими напря­жениями и токами. Для этого запишем систему уравнений по ме-тоду контурных токов, выбирая ⅛ -й и 1-й контуры внешними:

Здесь Z_jj и Z_jk — контурные сопротивления; Z´ _kk — сумма со­противлений элементов той части k-го контура, которая входит в состав рассматриваемой цепи и не включает внутреннее conpo-

тивление Z_BH источника; Z'_kk + Z_BH = Z_kk — контурное сопро­тивление k-го контура;

— контурные токи.

Исключим параметры источника сигнала из системы уравне­ний (6.11).

Так как

, (6.12)

эту систему перепишем в виде:

Ее решение по правилу Крамера относительно выходного тока с последующим разложением определителя Δ _l по l -му столбцу дает

(6.14)

где Δ — определитель системы;

Δ _l — определитель, получающийся из Δ заменой столбца, со­ставленного из коэффициентов Z _kl при неизвестном , столбцом, составленным из свободных членов;

Δ _{k l} — алгебраическое дополнение элемента Z _kl. Аналогично получим решение системы относительно тока на входе

(6.15)

Входные и передаточные функции цепи находим в виде отно­шения определителей системы (6.13), составленной по методу кон­турных токов:

Чтобы выяснить особенности полученных функций, рассмотрим более подробно определители Δ, Δ _kl, Δ _kk.

Общее выражение для определителя п-го порядка системы уравнений (6.13) имеет вид¹

Определитель Δ, таким образом, представляет сумму n! про­изведений. Каждое из этих произведений содержит п множите­лей. Каждый из множителей является элементом определителя и есть не что иное, как соответствующее контурное сопротивление рассматриваемой цепи.

Любое контурное сопротивление, как и сопротивление любой ветви в линейной цепи с конечным числом элементов, в общем случае является рациональной функцией мнимой частоты ƒ ω:

. (6.19)

где .

Так как произведения, суммы, разности и отношения рацио­нальных функций есть также рациональные функции, то и опре­делитель Δ — рациональная функция. То же самое можно сказать и об определителях Δ _kl, Δ _kk, которые отличаются от Δ лишь на единицу меньшим порядком.

Таким образом, убеждаемся, что как входные, так и переда­точные комплексные функции цепи являются рациональными функциями переменной ƒ ω и в общем виде могут быть представ­лены в виде рациональной дроби (6.5) с вещественными коэффи­циентами. Важно отметить, что все коэффициенты числителя и знаменателя этой дроби вещественные, так как они зависят лишь от схемы цепи и определяются параметрами ее элементов:

Системные функции цепи полностью определяются схемой и параметрами цепи и совершенно не зависят от параметров и схемы источника входного сигнала.

¹ Здесь α, ß,..., υ пробегают все возможные n! переста н овок из чисел 1, 2,..., п; знак перед каждым членом определителя (т. е. перед каждым сла­гаемым) определяется числом q инверсий в каждой перестановке.

Соотношения (6.11) —(6.18) получены методом контурных то­ков. К аналогичным выражениям и сделанным выводам можно прийти, используя также дуальный метод — метод узловых напря­жений.

Действительно, пусть в схеме (см. рис. 6.2) независимые узлы

выбраны так, что Ù _k и Ù _l — узловые напряжения. Тогда можно записать систему узловых уравнений:

Здесь Y_jj и Y_jk — узловые проводимости; Y'_kk — сумма прово-димостей ветвей, подходящих k-му узлу ипринадлежащих рас­сматриваемой цепи, взятая без учета источника входного сигнала; (Y'_kk+Y_вн) = Y_kk узловая проводимость k- гoузла; — узловые напряжения.

Учитывая, что

, (6.21)

исключаем параметры источника сигнала из системы уравне­ний (6.20):

Решая полученную систему относительно Ù _l и Ù _k, спомощью соотношений (6.7) — (6.10) находим функции цепи через опреде­лители системы (6.22), составленной по методу узловых напря­жений:

Так как узловые проводимости

(6.26)

имеют те же свойства, что и контурные сопротивления (6.19), можно прийти к уже сформулированным выше выводам относи­тельно свойств системных функций цепи.

Сравнивая полученные для системных функций выражения (6.16) — (6.18) и (6.23) — (6.26), нужно отметить, что входящие в них определители соответствуют уравнениям, составленным по разным методам. В первом случае они соответствуют матрице контурных сопротивлений (МКС), а во втором — матрице узло­вых проводимостей (МУП).

Важно заметить, что в любых случаях для входных функций

(6.27)

а для передаточных функций

, (6.28)

так как

но (6.29)

Для описания цепи, например, системой контурных или узло­вых уравнений используются такие ее параметры, как контурные сопротивления или узловые проводимости. Они определяются зна­чениями сопротивлений элементов, входящих в состав цепи. Эти параметры зависят и от выбора независимых переменных, взятых в качестве определяющих (контурные токи, узловые напряжения), и соответствующих им основных топологических элементов цепи (независимые контуры, узлы), а также от того, какая из возмож­ных совокупностей этих величин и элементов принята для описа­ния данной цепи. Учитывая это обстоятельство, такие параметры называют первичными.

Комплексные функции цепи относятся к числу ее вторичных параметров. Вторичные параметры не зависят от выбора опреде­ляющих величин, выбора независимых контуров или узлов,