В комплексной форме

Если ко входу линейной пассивной электрической цепи, рас­сматриваемой как двухполюсник (рис. 3.9), приложить синусои­дальное напряжение u(t)=U_msin(ω t+ψ _u), то через ее вход­ные зажимы потечет синусоидальный ток i(t)= I_msin (ω t + ψ _i).

Комплексную величину, равную отношению комплексного напряжения на зажимах данной пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному току в этой цепи или в этом элементе, называют комплексным электрическим сопротивлением:

(3.9)

Подставив в это выражение и , полу­чим

, (3.10)

где — полное сопротивление;

- сдвиг фаз между напряжением и током;

r = z cos φ — активное сопротивление;

x = zsin φ —реактивное сопротивление.

Комплексную величину Y, обратную комплексному сопротивле­нию Z, называют комплексной проводимостью:

,

где — полная проводимость;

—сдвиг фаз между напряжением и током;

g = ycos φ — активная проводимость; b = у sin φ — реактивная проводимость.

Комплексную проводимость Y можно представить в виде

где g = r/z²; b= x/z²

Отношения комплексных амплитуд напряжения и тока (3.9) и (3.11) выражают собой закон Ома в комплексной форме. Его можно также записать в виде

(3.13)

т. е. комплексная амплитуда тока в цепи синусоидального тока равна комплексной амплитуде напряжения, деленной на комплекс­ное сопротивление цепи.

Учитывая, что сложению гармонических величин соответствует сложение изображающих их комплексов, на основании первого за­кона Кирхгофа, справедливого для мгновенных значений токов для узла электрической цепи , получим выражение этого закона для цепи синусоидального тока в комплексной форме

т. е. алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов в любом узле электрической цепи синусоидального тока равна нулю.

Аналогичным образом на основании второго закона Кирхгофа

для мгновенных значений э. д. с. и напряжений получим выражение этого закона для цепи синусоидального тока в комплексной форме

(3.15)

т. е. алгебраическая сумма комплексных амплитуд э. д. с. в любом контуре электрической цепи синусоидального тока равна алгебраи­ческой сумме комплексных амплитуд напряжений на элементах контура.

Из выражений для закона Ома (3.13), а также для первого (3.14) и второго (3.15) законов Кирхгофа видно, что форма записи этих законов для цепей синусоидального тока в комплексном виде аналогична форме записи этих законов для цепей постоянного тока. Поэтому все методы расчета цепей постоянного тока можно применить к расчету цепей синусоидального тока, представив все электрические величины в комплексной форме записи.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными чис­лами, называют методом комплексных амплитуд.