Метод уравнений Кирхгофа

Самым общим методом расчета сложных электрических цепей является метод уравнений Кирхгофа. Сущность этого метода со­стоит в составлении системы уравнений в соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа и решении этой системы относи­тельно неизвестных токов.

Если сложная электрическая цепь имеет y узлов и в ветвей, а следователь­но, в неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему в линейно независимых уравнений. Покажем, что эти уравнения можно составить по пер­вому и второму законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа можно составить всего столько уравнений, сколько узлов имеет цепь, т. е. у урав­нений. Однако линейно независимыми будут только y —1 уравне­ний. Это следует из того, что после сложения у —1 уравнений, составленных для всех узлов, кроме одного, получим уравнение, в которое входят только токи, сходящиеся в последнем узле, так как остальные токи войдут в сумму два раза с противополож­ными знаками и сократятся. Это уравнение будет отличаться от уравнения для последнего узла только знаками токов. Умножим его на —1, получим уравнение для последнего узла.

Для иллюстрации этого положения составим уравнения по пер­вому закону Кирхгофа для схемы, приведенной на рис. 2.19: для первого узла

I₁-I₂ + I₃ = 0; (2.26)

для второго узла

I₅-I₃-I₄ = 0; (2.27)

для третьего узла

I₂-I₁+I₄-I₅ = 0. (2.28)

Сложив выражения (2.26) и (2.27), получим

-I₂ + I₁-I₄+I₅ = 0.

Умножим это уравнение на —1, получим уравнение для треть­его узла (2.28), т. е. уравнение для последнего узла можно полу­чить линейными комбинациями из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для первых y —1 узлов. Таким обра­зом, для цепи, имеющей y узлов, по- первому закону Кирхгофа можно составить у — 1 линейно независимых уравнений.

Остальные n=в — (у —1) линейно независимые уравнения со­ставляются по второму закону Кирхгофа.

Для того чтобы показать это, воспользуемся топологическими свойствами электрической цепи. Так как при добавлении связи графа к дереву графа схемы электрической цепи образуется один

контур, то число связей графа схемы равно числу независимых контуров электрической цепи. Если учесть, что дерево графа со­держит все узлы электрической цепи, число которых равно y, а число ветвей на дереве графа на единицу меньше числа узлов, т. е. равно y — 1, то общее число ветвей в цепи будет

в=(у-1)+n, (2.29)

где п — число связей графа схемы электрической цепи, равное числу независимых контуров.

Отсюда получается выражение для определения числа связей дерева графа, а следовательно, и числа независимых контуров электрической цепи

n = в-(у-1) (2.30)

Для иллюстрации этого рассмотрим схему электрической цепи, приведенную на рис. 2.19. Граф схемы этой цепи приведен на рис. 2.20, а одно из деревьев графа схемы — на рис. 2.21. Дерево графа этой цепи содержит три узла и две ветви, т. е. y — 1 ветвей. Число связей графа схемы равно трем. Так как всего ветвей на графе пять, то, следовательно, выполняется соотношение для числа связей графа схемы (2.30), а значит, и для числа неза­висимых контуров

n=в-(у-1)=5-(3-1)=3

Таким образом, для цепи, имеющей y узлов и в ветвей, по вто­рому закону Кирхгофа можно составить n=в— (у— 1) линейно независимых уравнений. При этом общее число уравнений, состав­ленных по первому и второму законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей, т. е. числу неизвестных токов, что позволяет найти токи во всех ветвях электрической цепи.

Расчет цепей с помощью законов Кирхгофа целесообразно про­изводить в следующем порядке:

1. Определить число узлов y и число ветвей вв цепи. В соот­ветствии с этим определить количество уравнений, которые необ­ходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

2. Обозначить на схеме цепи токи в ветвях и произвольно вы­брать их положительные направления. Выбрать независимые кон-

туры цепи. Это целесообразно сделать таким образом, чтобы в каждый последующий контур входила хотя бы одна новая ветвь. Произвольно задаться направлением обхода контуров.

3. Составить y —1 уравнений по первому закону Кирхгофа.

4. Составить n=в - (у - 1) уравнений по второму закону Кирх­гофа. При составлении этих уравнений э. д. с. считаются положи­тельными, если их направление совпадает с направлением обхода контуров. Падение напряжения будет положительным, если направление об­хода контура совпадает с выбранным направлением тока.

5. Решить составленную систему уравнений относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получатся отрицательными, то это означает, что их действительные на­правления противоположны первона­чально выбранным положительным на­правлениям. Поясним это на примере.

Пример 2.4.

В цепи, изображенной на рис. 2.22, даны ее элементы: E₁ = 50 B; E₂=1O В; r_{вн 1} = 0, 4 Ом; r_вн2=l, 0 Ом; r₁= 3 Ом; r₂=2 Ом; r₃=2 Ом. Требуется определить токи в ветвях.

Решение.

В схеме два узла и три ветви. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо составить одно уравнение, а но второму — два уравнения.

Обозначим на схеме цепи токи в ветвях и стрелками укажем их положи­тельные направления. Выберем два независимых контура и стрелками покажем направления их обхода.

Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

I₁ + I₂ + 1з = 0.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных незави­симых контуров:

Подставляя в последние два уравнения численные значения пар а метров эле­ментов цепи и переписав первое уравнение, получим систему из трех уравнений:

Решим эту систему, найдем: I₁ =10 A; I₂ = -2 A; I₃ = -8 A. Действитель­ное направление тока I₁ совпадает, а токов I₂ и I₃ противоположно их выбран­ным положительным направлениям.

Проверку правильности расчета токов можно осуществить по балансу мощностей или по выполнению законов Кирхгофа для лю­бого из узлов и контуров цепи.

При расчете электрических цепей с помощью законов Кирхгофа источники электрической энергии можно задавать не только ввиде источников э. д. с., но и в виде источников тока, которые учиты­ваются при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа.

Достоинством рассмотренного метода расчета сложных элек­трических цепей с помощью законов Кирхгофа является его общ­ность, а недостатком — громоздкость (большое число уравнений, равное числу ветвей). Поэтому разработан ряд методов и приемов, упрощающих расчет. Впоследующих подразделах рассмотрим не­которые из этих методов, применимых только для линейных элек­трических цепей.