Неразветвленная цепь синусоидального тока

3.1. Цель работы.

Целью работы является освоение расчетных и опытных методов определения в

неразветвленной электрической цепи:

тока и напряжения на элементах схемы;

параметров катушки индуктивности;

построения векторной диаграммы тока и напряжений;

построение топографической диаграммы напряжений;

тока, напряжения на элементах и построения векторной диаграммы при резонансе.

3.2. Приобретаемые навыки.

уметь собирать требуемую электрическую схему на лабораторном стенде;

уметь правильно производить подключение (отключение) и соответствующие

переключения;

научиться снимать и анализировать основные зависимости, отражающие работу

схемы;

научиться строить графики зависимостей и анализировать характеристики;

научиться делать выводы по результатам работы.

3.3. Меры безопасности.

1.Работу под напряжением производить в составе бригады из двух и более человек.

2.Перед началом работы убедиться в надежности заземления лабораторного стенда.

3.В присутствии преподавателя (лаборанта) убедиться в правильности собранной

схемы и получить разрешение на подачу питания.

4. При появлении запаха дыма или искрения немедленно обесточить стенд.

Внимание. При поражении электротоком немедленно отключить автомат и поставить переключатель на вводном щите в положение " 0", оказать пораженному первую медицинскую помощь.

3.4.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

3.4.1. Синусоидальный ток и его характеристики

Синусоидальный ток изменяется во времени по синусоидальному закону (рис. 3.1)

i = Imsin ( + j) = Imsin (vt+j) (3.1) Максимальное значение функции называется амплитудой (Im).Период T – время, за которое совершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в 1 сек (Гц или сек –1).

(3.2)

Угловая частота - в рад/сек или сек^-1.

ω = 2π f = (3.3)

Аргумент синуса (vt+j) называют фазой, которая характеризует состояние колебания в данный момент времени t.

Любая синусоидальная функция определяется тремя величинами:

- амплитудой;

угловой частотой v

начальной фазой j

3.4.2. Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся величины.

Под средним значением СИВ (синусоидально изменяющаяся величина) понимают ее среднее значение за полпериода.

I_ср = = (3.4)

т.к. = 0, 638, то I _ср составляет 0, 638 амплитудного значения тока I Аналогично E _ср = E_m

U_ср = U_m

Действующее значение СИВ (его называют также эффективным или среднеквадратичным) для тока:

(3.5)

Аналогично E= 0, 707 E_m; U= 0, 707 U_m.

Действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Большинство измерительных приборов показывает действующее значение СИВ.

Коэффициент амплитуды k_aСИВ - это отношение амплитудного значения к его действующему.

k_a = = (3.6)

Коэффициент формы k_ф СИВ - отношение действующего значения к ее среднему за полпериода значению.

(3.7)

3.4.3. Изображение СИВ векторами и комплексными числами на комплексной плоскости.

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изобразить СИВ векторами или комплексными числами. На рис.3.2 изображена комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части.

По оси абсцисс комплексной откладывают действительную часть комплексного числа, по оси ординат - мнимую. На оси действительных значений ставим +1, на оси мнимых значений + j, причем По формуле Эйлера e j α = cosα + j sinα (3.8)

Это комплексное число е^јα изображают на комплексной плоскости единичным вектором, составляющим угол α с осью вещественных значений (осью +1). Угол α отсчитывается против часовой стрелки от оси +1.

Проекция функции e ^{j a} на ось +1 равна cos , а на ось + j равна sin a.

Если вместо функции e ^{j a} взять функцию I_m e ^{j a}, то

I_m e ^{j a}₌I_m cos + j I_m sina

На комплексной плоскости эта функция изображается под углом a к оси +1, по длине вектора будет в I_m раз больше.

Угол a в формуле (8) может быть любым. Если a = wt + j изменяется

прямо пропорционально времени t, тогда

I_me^j(wt+j)= I_m cos(wt+j)=I_m cos(wt+j)+jI_m sin(wt+j)(3.9)

Слагаемое I_m cos(wt+j) представляет собой действительную (Re) часть выражения I_me^j(wt+j)

I_m cos(wt+j)=(Re)I_me^j(wt+j) (3.10)

а функция I_m sin(wt+j) есть коэффициент при мнимой части (Im) выражения I_me^j(wt+j)

i= I_m sin(wt+j)=(Im)I_me^j(wt+j) (3.10a)

т.е. синусоидально изменяющийся ток i можно представить в виде проекции вращающегося вектора I_me^j(wt+j) на ось +j (рис. 3.3)

С целью единообразия принято на комп– лексной плоскости изображать векторы СИВ для момента времени ω t = 0.Тогда вектор Im ej(wt+j) = Ι mеj φ = m (3.11) где m- комплексная величина, модуль которой равен Im; φ - угол, под которым вектор Im проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равной начальной фазе.

_m называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени ω t=0.Точка, поставленная над током I или U, означает, что эта величина изменяется во времени синусоидально.

Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока (комплексным током) I понимают частное от деления комплексной амплитуды на 2

(3.12)

Под мгновенной мощностью понимают произведение мгновенного значения напряжения U на участке цепи на мгновенное значение тока i, протекающего по этому участку:

p = u i (3.13)

4.4. R-, L- и C-элементы в цепи синусоидального тока.

Протеканию синусоидального тока оказывают сопротивление R-элемента (резисторы) - в них выделяется энергия в виде теплоты - и реактивные элементы (катушки индуктивности и конденсаторы) - они то запасают энергию в магнитном (электрическом) поле, то отдают ее.

Резистивный элемент характеризуют вольт-амперной характеристикой ВАХ (U=f(i)) или сопротивлением R = . Обозначают также R (рис. 3.4а).

Положительные направления отсчета U и i совпадают. i = Im sin wt U =iR=RIm sin wt =Umsin wt (3.14) Um=RIm Векторная диаграмма комплексного тока I и совпадающего с ним по фазе комплекса напряжения U показана на рис. 3.4б

Индуктивный элемент L характеризуют вольт-амперной характеристикой (зависимостью потокосцепления j тока i или индуктивностью L= ).

Обозначение L показано на рис.3.5а (условно считается, что активная составляющая rL катушки индуктивности R=0). Векторы комплексов тока İ напряжения и ЭДС L показана на рис.3.5б. Если i = Imsin wt, то e = – L =– cos = sin( –900) Разность потенциалов между точками а и b ja= jb - eL , a Uab = ja- jb= - eL = L Следовательно Uab= UL= U= - eL (3.15)

Отсюда

u = ω LI_msin(wt+90 ⁰)= U_m sin(wt+90 ⁰) (3.16)

U_m =wLI_m

Произведение wL обозначается X_L и называется индуктивным сопротивлением (измеряется в Омах)

X_L = wL (3.17)

Мгновенная мощность

p = u i = U_m coswt I_msinwt= sin2wt (3.18)

проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либо i, либо u. Поэтому энергия периодически то забирается катушкой индуктивности от источника, то отдается ему обратно.

Падение напряжения на реальной индуктивной катушке равно сумме напряжений на L и r_k. Поэтому угол между U и I (рис. 3.5в) равен 90⁰-d, причем

tgδ = = , где Q - добротность реальной катушки. Чем больше Q тем меньше d.

Емкостный элемент характеризует Кулон-вольтная характеристика (зависимость заряда q от напряжения U) или емкость

G =

Изображение емкостного элемента (рис.3.6) такое же, что и у конденсатора Если напряжение u не изменяется во времени, то заряд q = Cu на обкладках конденсатора не изменяется и ток через конденсатор не проходит i= =0

Если же напряжение меняется во времени по sin-му закону:

U=U_m sin wt(3.19)

то и заряд конденсатора

q = Cu = CU_msin wt

т.е. конденсатор будет периодически перезаряжаться. Тогда ток

i = = cos = sin( + 90 ) (3.20)

где = Х_c - емкостное сопротивление.

Сравнивая (3.19) и (3.20), видим, что ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на нем на 90⁰.

I _m = , X _c = (3.21)

Мгновенная мощность

P= sin2wt (3.22)

Ток через реальный конденсатор из-за тепловых потерь на активной

составляющей сопротивления конденсатора r_c

I = I₁+I₂

отстает по фазе от идеального I₁ на угол d (его называют углом потерь);

tgδ = , где Q_c - добротность конденсатора.

3.4.5. Комплексное сопротивление.

Для схемы рис.3.7 уравнение для мгновенных значений имеет вид: UR+UL+UC = e или iR + L + =e (3.23) В комплексной форме İ R + Im jω L+ Im() = Ė m (3.24)

Тогда комплексная амплитуда тока

İ = (3.25)

Такой метод называют символическим, т.к. токи и напряжения здесь заменяются их комплексными изображениями или символами.

Rİ _m - символ падения напряжения;

jX_Lİ _m - символ падения напряжения;

-jX_cİ _m -символ падения напряжения на конденсаторе ò idt

Множитель из (3.24) R + jX_L- jX_c представляет собой комплекс с размерностью сопротивления и обозначается через Z. Его называют комплексным опротивлением

(3.26)

Уравнение (25) можно переписать в комплексной форме:

İ = = , (3.27)

где - Y = - комплексная проводимость.

Уравнение (3.27) представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и мнимую jX.

Z = R + jX (3.28)

где R - активное сопротивление (R = r_a+ r_L + r_C)

Х - реактивное сопротивление (Х = wL - ).

3.4.6. Комплексная проводимость.

(3.29)

измеряется в Си (Ом^-1). В этой формуле g - действительная часть, а b -мнимая

часть проводимости.

откуда (3.30)

. Если X положительно, то и b положительно; если X отрицательно, то и b

отрицательно. Комплексный ток

İ =

где İ _a - активная составляющая тока;

İ _r - реактивная составляющая тока

- напряжение на участке цепи с сопротивлением Z.

3.4.7. Топографическая диаграмма.

Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комплексные потенциалы одноименных точек электрической схемы, называется топографической диаграммой.

При построении топографической диаграммы, как и потенциальной, потенциал любой точки схемы может быть принят равным нулю. На диаграмме эту точку помещают в начало координат. Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме определяется параметрами цепи, ЭДС и токами ветвей. Например, напряжение между точками a и b oпределяется по значению и направлению вектором, проведенным на топографической диаграмме от точки b к точке а.

3.5. Описание лабораторного стенда.

На стенде находятся:

· Автотрансформатор (ЛАТР), который регулирует напряжение от промышленной сети переменного тока в пределах от 0 до 220 В.

· Сопротивления R, номиналы указаны на стенде.

· Магазин емкостей, емкость изменяется дискретно от 0 до 94, 75 мкФ.

· Катушки индуктивности (r_k, L₁)

· Приборы для измерения тока, мощности (амперметр, вольтметр, ваттметр)

Подключение и отключение автотрансформатора к сети осуществляется тумблером “вкл” и контролируется сигнальной лампочкой.

Напряжение =30 В снимается с автотрансформатора (ЛАТРа).

Номиналы электрических элементов используемых в предварительном задании и при опытных измерениях записываются в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

3.6. Предварительные задания.

Каждый студент получает индивидуальное задание. Студенты, получившие

одинаковые варианты, обьединяются при выполнении лабораторной работы в одну

бригаду.

Для схемы рис.3.8 записать выражение для расчёта параметров катушки r_k, X_L, L₁,

считая известными показания всех приборов. Показания приборов свести в

таблицу 3.2.

Таблица 3.2

(для схемы рис.3.8)

Для схем рис. 3.9 и 3.10 считая заданным Е, f и номиналы элементов рассчитать:

- мгновенное значение тока и напряжений на элементах.

- Построить векторную диаграмму.

Результаты расчетов свести в таблицы.

Таблица 3.3

(для схемы рис.3.9)

Таблица 3.4

(для схемы рис.3.10)

Для схемы рис.3.11 рассчитать показания приборов мгновенные

значения токов и напряжений на элементах и построить векторные диаграммы для трех режимов входного сопротивления;

активно – индуктивного когда реактивное сопротивление Х₁= Х_L-X_C (X_L и X_C рассчитаны по данным табл.3.1);

активного, когда Х=0(резонанс напряжения).Значение X_L считаем известным из предварительного расчета, а значение X_C определяем из условия резонанса;

активно – емкостного, когда реактивное входное сопротивление Х₂=Х_L-X_C;

X_C и С определяем из условия |X₂|=|X₁|.

Активно-индуктивный, активный, активно-емкостной режимы получаются путем изменением емкостей в магазине емкостей, расположенных на стенде.

Режимы определяются следующими соотношениями:

X_L= wL

Х_C=

X_L=X_c –активный (резонанс) режим

X_L> X_c – индуктивный режим

X_L< X_c – емкостной режим

При этом, по условиям проводимого эксперимента

X_L=const

R= const

С – ступенчато изменяется (в магазине емкостей на стенде)

Результаты расчетов свести в таблицу 3.5.

Таблица 3.5.

(для схемы рис.3.11)

3.7. Рабочее задание.

В заданной лабораторной работе требуется: рассчитать параметры катушки индуктивности (r_k, X_L, L) по данным измерений в электрической цепи, схема которой приведена на рис.3.8;

сравнить опытные и расчетные значения токов, напряжений на элементах и мощностей в электрических цепях, схемы которых приведены на рис. 3.9 и 3.10;

сравнить опытные и расчетные значения токов и напряжений на элементах в электрической цепи, изображенной на схеме рис. 3.11, для трех режимов входного сопротивления (активно-индуктивного, активного и активно-емкостного);

рассчитать относительную погрешность всех приведенных измерений.

Измерения напряжений рекомендуется проводить одним вольтметром поочередно.

3.8. Указания по обработке результатов измерений и оценке погрешностей.

В процессе выполнения работы измеряются ток, напряжения и мощность. При обработке результатов вычисляться должна как абсолютная D так и относительная d погрешности, первая из них нужна для округления результата и его правильной записи, а вторая -для сравнительной характеристики его точности. Определение D и d излагается в описании лабораторной работы №1.

Результаты измерений, полученные в процессе выполнения рабочего задания, и их относительные погрешности δ свести в табл.3.2-3.5.

3.9. Указания по оформлению отчета.

Отчет о выполнении лабораторной работы каждый студент оформляет индивидуально.

Отчет должен содержать:

схему лабораторного стенда с учетом измерительных приборов и номиналов элементов и источников питания;

результаты расчетных и экспериментальных данных;

расчет требуемых величин по результатам эксперимента;

построение векторных диаграмм тока и напряжений;

определение из векторных диаграмм угла φ и cos φ;

расчет относительных погрешностей.

3.10. Вопросы для подготовки к собеседованию и контролю.

1. Каким выражением характеризуется мгновенное значение синусоидального тока?

2. Что понимают под действующим значением тока?

3. Как перейти от мгновенного значения синусоидальной величины к комплексному значению и наоборот?

4. Как записывается закон Ома для мгновенных и комплексных значений тока и напряжения в цепях с последовательным соединением R, L элементов и R, C элементов?

5.Что показывают приборы (вольтметры, амперметры и ваттметры),

включенные в схему?

6. Что понимают под векторной диаграммой напряжений и токов?

7. Как определяется комплексное сопротивление последовательно соединенных элементов R, L и С?

8. Как определяются мгновенные, комплексные и действующие значения напряжений на входе цепи с последовательным соединением элементов R, L и С и на каждом элементе, если задано мгновенное значение тока?

9. Как определяются мгновенные, комплексные и действующие значения тока и напряжений на каждом элементе цепи с последовательным соединением элементов R, L и С, если задано действующее значение напряжения на входе цепи?

10. Как определяются параметры катушки (r_к, x_L, L) по измеренным значениям тока, напряжения, мощности и заданной частоте источника?

11. Что называется топографической диаграммой напряжений?

12. Как формируется условие резонанса для последовательного соединения элементов?

3.11. Литература.

1. Л.А.Бессонов. Теорет. основы электротехники.- М.: Высш.школа.1996, с.81-102.

2. Л.Р.Нейман, К.С.Демирчан. Теоретические основы электротехники.

т.1 - Л.: Энергоиздат, 1981, с.163-175, 177-180.

3. П.В.Новицкий, И.А.Зограф. Оценка погрешностей результатов измерений.-

Л.: Энергоиздат, 1985.

4.Буев А.Р., Федоров Е.Е. Методические указания к лабораторной работе.

’’Неразветвленная цепь синусоидального тока’’ Йошкар –Ола, МарГУ, 1996

5. «Межотраслевые правила по охране труда.» – РД 153–34.0–03.150–00.