Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Комплексный метод расчета электрических цепей
Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется комплексным методом. Существует несколько форм представления комплексного числа: - алгебраическая форма: ; - показательная (или экспоненциальная) форма: ; - тригонометрическая форма: . Эти формы связаны между собой соотношениями: - модуль комплексного числа; - главное значение аргумента комплексного числа.
Для вещественной и мнимой частей комплексного числа употребляют также обозначения: , . Полезно запомнить следующие соотношения:
; ; ; , и т.д.
Кроме того: ; .
Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называются сопряженными. Если , то сопряженное ему комплексное число запишется в форме . При этом соблюдается равенство: . Пусть имеем синусоидально изменяющийся ток с начальной фазой ψ i:
.
Комплексное изображение синусоидального тока, при заданной угловой частоте ω, определяется двумя величинами: амплитудой и начальной фазой.
,
где - комплексная амплитуда тока. Тогда .
Рассмотрим производную по времени от синусоидального тока: . Комплексное изображение производной будет иметь вид: . Таким образом, операция дифференцирования действительной функции заменяется умножением ее комплексного изображения на . Рассмотрим изображение интеграла от синусоидальной функции тока. . Комплексное изображение интеграла будет иметь вид:
.
Следовательно, операция интегрирования действительной функции сводится к делению ее комплексного изображения на . Таким образом, комплексный метод позволяет заменить интегро-дифференциальное уравнение, содержащее функции времени, алгебраическим уравнением с их комплексными изображениями. Алгоритм метода: 1. Заменить заданные функции времени их комплексными изображениями. 2. Заменить все уравнения, составленные по законам Кирхгофа, алгебраическими уравнениями для комплексных изображений. 3. Отыскать комплексные изображения искомых функций. 4. Перейти к оригиналам этих функций. В качестве примера рассмотрим цепь с последовательно соединенными элементами R, L и C, к зажимам которой приложено напряжение, изменяющееся по синусоидальному закону . Требуется найти ток в цепи: . 1) Заменяем функции времени их изображениями: , . 2) Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа: . Полученное уравнение является алгебраическим. Все слагаемые имеют общий множитель . Окончательно получаем уравнение в комплексных амплитудах: . 3) Из последнего уравнения легко определяется комплексная амплитуда тока: , где – комплексное сопротивление цепи. 4) Зная выражение для комплексной амплитуды тока в виде , можем, используя обратный переход, записать выражение для мгновенного тока: . Обычно рассматривают действующие значения токов и напряжений. Так как действующие синусоидальные токи и напряжения меньше их амплитуд в раз, то обычно вместо комплексных амплитуд рассматривают комплексные действующие величины: , .
|