Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Преобразование структурной схемы и определение передаточных функций системы
|
|
Приведем заданную структурную схему к одноконтурной с помощью последовательных преобразований (рисунок 2).
Рисунок 2 – Преобразование исходной структурной схемы
На рисунке 2 приняты следующие обозначения:
‑ передаточные функции элементов прямой цепи;
‑ входной и выходной сигналы соответственно.
Передаточные функции элементов прямой цепи
, 
, (1.1)
Передаточная функция возмущающего воздействия
(1.2)
Передаточная функция разомкнутой системы
(1.3)
, (1.4)
где 
‑ общий коэффициент усиления,
‑ коэффициенты собственного оператора.
Подставив численные значения, получим
. (1.5)
Исходя из структурной схемы видно, что система охвачена единичной обратной связью. Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию 
, (1.6)
Подставив численные значения, получим
(1.7)
Характеристическое уравнение замкнутой АСР, путем выделения знаменателя ее передаточной функции и приравнивая его к нулю.
(1.8)
1.2 Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица
Передаточная функция замкнутой системы
. (1.9)
Тогда характеристическое уравнение будет иметь вид
. (1.10)
Найдем главный определитель Гурвица и определители низших порядков
.
Подставив численные значения, получим
| Δ 1= | 0, 05765 |
| Δ 2= | 0, 08450975 |
| Δ 3= | -0, 0354694 |
| Δ 4= | -1, 2804458 |
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры при а0> 0 были положительны, т.е. Δ 1> 0, Δ 2> 0, Δ 3> 0, …, Δ n> 0.
Условие Гурвица не выполняется для данной системы, следовательно, делаем вывод, что система не устойчива.
Найдем критический коэффициент усиления 
для данной системы из условия
, (1.11)
подставляя численные значения, получим
= 50, 3934109
1.3 Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова
Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо построить кривую, которую описывает конец вектора 
на комплексной плоскости при изменении частоты 
от 0 до 
, называемую годографом Михайлова.
Вектор получают из характеристического полинома замкнутой системы при подстановке 
(1.12)
Данное выражение представим в виде
, (1.13)
где 
и 
, – вещественная и мнимая части соответственно
. (1.14)
Подставляя численные значения, получим
. (1.15)
Задавая значения от 0 до , вычисляем и . Расчет оформляем в виде таблицы 1.
Таблица 1 – Координаты годографа Михайлова
| ω | ∞ | |||||||||||
| Х(ω) | 36, 1 | -0, 226875 | -96, 63 | -215, 37688 | -293, 58 | -243, 19688 | 48, 97 | 721, 27312 | 1937, 22 | 3885, 4731 | 6779, 85 | ∞ |
| Y(ω) | -2, 20625 | -47, 65 | -179, 56875 | -441, 2 | -875, 78125 | -1526, 55 | -2436, 7438 | -3649, 6 | -5208, 356 | -7156, 25 | ∞ |
По данным таблицы 1 строим годограф Михайлова (рисунок 6).
1.3 Исследование системы на устойчивость по критерию Найквиста
Определим устойчивость разомкнутой системы.
В одноконтурной системе, составленной из последовательно соединенных звеньев, корни характеристических полиномов этих звеньев являются одновременно корнями характеристического полинома разомкнутой системы. Так как система не содержит местных обратных связей, определим корни характеристических полиномов звеньев.
Характеристический полином звена 
(1.16)
имеет вещественный корень
= -16, 67
Характеристический полином звена 
(1.17)
имеет три корня, один из которых нулевой:
р 2= 0; р 3= - 2, 33; р 4= - 15, 38.
Так как один корень имеет нулевое значение, разомкнутая система находится на границе устойчивости.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
(1.18)
Составим частотную передаточную функцию
, (1.19)
где 
;
;
;
.
Запишем вещественную и мнимую части частотной передаточной функции
. (1.20)
Подсчитаем значения мнимой и действительной части частотной передаточной функции для различных значений от 0 до . Результаты вычислений оформим в виде таблицы 2.
Таблица 2 – Расчет АФЧХ разомкнутой системы
| ω | U1 | V1 | U2 | V2 | U(ω) | V(ω) |
| 0, 1 | 36, 1 | -0, 0149498 | 0, 09994235 | -52, 848657 | -353, 30289 | |
| 36, 1 | -1, 493323 | 0, 94235 | -17, 28939 | -10, 910337 | ||
| 36, 1 | -5, 953168 | 1, 5388 | -5, 6842127 | -1, 4692793 | ||
| 36, 1 | -13, 319163 | 1, 44345 | -2, 6789169 | -0, 2903247 | ||
| 36, 1 | -23, 490688 | 0, 3104 | -1, 5365109 | -0, 0203031 | ||
| 36, 1 | -36, 326875 | -2, 20625 | -0, 9901026 | 0, 06013217 | ||
| 36, 1 | -51, 646608 | -6, 4524 | -0, 6882387 | 0, 08598419 | ||
| 36, 1 | -69, 228523 | -12, 77395 | -0, 5042917 | 0, 0930512 | ||
| 36, 1 | -88, 811008 | -21, 5168 | -0, 3839445 | 0, 09302063 | ||
| 36, 1 | -110, 0922 | -33, 02685 | -0, 3008333 | 0, 09024777 | ||
| 36, 1 | -132, 73 | -47, 65 | -0, 2409296 | 0, 08649359 | ||
| 36, 1 | -329, 68 | -441, 2 | -0, 0392339 | 0, 0525054 | ||
| 36, 1 | 12, 87 | -1526, 55 | 0, 00019936 | 0, 02364641 | ||
| 36, 1 | 1901, 12 | -3649, 6 | 0, 00405286 | 0, 00778031 | ||
| 36, 1 | 6743, 75 | -7156, 25 | 0, 00251783 | 0, 00267184 | ||
| 36, 1 | 16351, 92 | -12392, 4 | 0, 00140229 | 0, 00106274 | ||
| 36, 1 | 32939, 27 | -19703, 95 | 0, 00080714 | 0, 00048282 | ||
| 36, 1 | 59121, 92 | -29436, 8 | 0, 0004893 | 0, 00024362 | ||
| 36, 1 | 97918, 47 | -41936, 85 | 0, 00031153 | 0, 00013342 | ||
| ∞ | 36, 1 | ∞ | ∞ |
По данным таблицы 2 построим график АФЧХ разомкнутой системы.
Рисунок 7 – АФЧХ разомкнутой системы
Так как характеристический полином системы имеет нулевой корень, разомкнутая система находится на границе устойчивости. Согласно условию устойчивости по критерию Найквиста, в этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞, дополненная на участке разрыва дугой бесконечного радиуса, не охватывала точку с координатами (-1, j0).
Для данной системы это условие не выполняется, АФЧХ разомкнутой системы один раз охватывает точку с координатами (-1, j0), следовательно, система не устойчива.
1.4 Определение устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам
Запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде
, (1.21)
где общий коэффициент передачи системы К=К1К2К3К4=36, 1
Определим частоты сопряжения по формуле
, (1.22)
где 
, постоянная времени i-го звена.
Тогда, применив формулу для нахождения частот, получим
(1.23)
Так как данная система содержит интегрирующее звено, то она является нейтральной. Рассчитаем ординату для низкочастотной асимптоты для звена согласно формуле до первой частоты сопряжения:
(1.24)
При построении ЛАЧХ звену 
будет соответствовать наклон 
, а звену 
наклон будет равен 
, звену 
будет соответствовать наклон 
, звену 
будет соответствовать наклон 
Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев. Значения углов 
вычисляются в диапазоне частот от минимальной частоты, соответствующей началу координат до частоты, при которой фазовый сдвиг превышает (–180º ).
Для звена ЛФЧХ будет вычисляться по формуле:
(1.25)
Для звеньев 
:
(1.26)
Значения результирующей ЛФЧХ найдем как:
(1.27)
Подставив численные значения в вышеприведенные формулы, рассчитаем необходимые значения. Результаты вычислений оформим
в виде таблицы 3.
Результаты вычислений отобразим на графике логарифмических характеристик разомкнутой системы (рисунок 8).
Таблица 3 – Расчет ЛФЧХ разомкнутой системы
| частота | Звено 1 | Звено 2 | Звено 3 | Звено 4 | Σ Φ (ω) | ||||
| ω Т1 | Φ 1(ω) | ω Т2 | Φ 2(ω) | ω Т3 | Φ 3(ω) | ω Т4 | Φ 4(ω) | ||
| 0, 01 | -1, 570796 | 0, 0043 | -0, 0043 | 0, 00065 | -0, 00065 | 0, 0006 | -0, 0006 | -90, 31799 | |
| 0, 1 | -1, 570796 | 0, 043 | -0, 0429735 | 0, 0065 | -0, 0064999 | 0, 006 | -0, 0059999 | -93, 17839 | |
| -1, 570796 | 0, 43 | -0, 4060981 | 0, 065 | -0, 0649087 | 0, 06 | -0, 0599282 | -120, 42033 | ||
| 2, 33 | -1, 570796 | 1, 0019 | -0, 7863473 | 0, 15145 | -0, 1503077 | 0, 1398 | -0, 1388998 | -151, 62475 | |
| -1, 570796 | 4, 3 | -1, 3422997 | 0, 65 | -0, 5763752 | 0, 6 | -0, 5404195 | -230, 89573 | ||
| 15, 38 | -1, 570796 | 6, 6134 | -1, 420725 | 0, 9997 | -0, 7852481 | 0, 9228 | -0, 7452699 | -259, 09377 | |
| 16, 67 | -1, 570796 | 7, 1681 | -1, 432184 | 1, 08355 | -0, 8254765 | 1, 0002 | -0, 7854982 | -264, 36015 | |
| -1, 570796 | -1, 5475447 | 6, 5 | -1, 418147 | -1, 4056476 | -340, 4593 |
|
Если разомкнутая система нейтральна, для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).
В данном случае ЛФЧХ совершает один отрицательный переход при положительных значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о том, что замкнутая система неустойчива.
2 Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам
|
|