Тема 4 Показатели вариации и анализ частотных распределений

Основные понятия и определения

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, так как величина вариации признака характеризует ее однородность.

Вариацией признака называется изменение значений признака у единиц статистической совокупности. Отдельные значения признака называются вариантами.

В статистике для измерения степени вариации признака используются следующие показатели (меры) вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, коэффициент вариации.

Размах вариации определяется как разность между максимальным и минимальным значениями признака у единиц статистической совокупности:

R = . (4.1)

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения. При расчете данных показателей для сгруппированных данных применяется форма арифметической взвешенной, для несгруппированных – простая арифметическая. Формулы расчета приведены в таблице 4.1.

Дисперсию можно рассчитать, возведя в квадрат среднее квадратическое отклонение.

Для расчета дисперсии также может быть применима следующая формула, которая получается в результате некоторых преобразований, и имеет следующий вид:

, (4.2)

то есть дисперсия равна средней из квадратов индивидуальных значений признака минус квадрат средней величины.

Таблица 4.1 – Расчет среднего линейного и среднего квадратического отклонения

Показатель	Для сгруппированных данных	Для несгруппированных данных
Среднее линейное отклонение
Среднее квадратическое отклонение

Для сгруппированных данных, с целью характеристики взаимосвязи между признаками, кроме общей дисперсии исчисляются также межгрупповая дисперсия и средняя из внутригрупповых дисперсий.

Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих значения признака у единиц изучаемой совокупности, и рассчитывается по формуле:

. (4.3)

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) отражает систематическую вариацию признака, то есть те различия в величине признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки. Определяется по формуле:

(4.4)

где - групповые средние;

- общая средняя;

- число единиц совокупности в группе.

Средняя из внутригрупповых дисперси й характеризует случайную вариацию, которая возникает под влиянием других, неучтенных факторов, и не зависит от признака, положенного в основу группировки.

Рассчитывается по формуле:

(4.5)

где - внутригрупповые дисперсии;

- число единиц совокупности в группе;

- индивидуальные значения признака в к-ой группе;

- групповые средние;

- частота повторений отдельных вариантов признака.

Все три вида дисперсии взаимосвязаны следующим образом:

, (4.6)

то есть величина общей дисперсии равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий. Это соотношение отражает правило сложения дисперсий.

Дисперсия альтернативного признака. Альтернативный признак – качественный признак, имеющий лишь два противоположных или взаимоисключающих значения. Наличие признака принимается за единицу, отсутствие признака - за ноль. Таким образом, p + q = 1, где p – доля единиц совокупности, обладающих данным признаком, q - доля единиц совокупности, не обладающих данным признаком.

Среднее значение альтернативного признака:

. (4.7)

Дисперсия альтернативного признака:

. (4.8)

Предельное значение вариации альтернативного признака равно 0, 25 и получается при p = q = 0, 5.

Из относительных показателей вариации наиболее часто используется коэффициент вариации, который выражается в процентах и рассчитывается по следующей формуле:

. (4.9)

Коэффициент вариации применяется как для сравнительной оценки вариации, так и для характеристики степени однородности совокупности. Совокупность считается однородной по значениям признака, если коэффициент вариации менее 33%, и, наоборот, совокупность считается неоднородной, если значение коэффициента вариации больше или равно 33%.

Коэффициент осцилляции линейный коэффициент вариации