Правила дифференцирования.

ЛЕКЦИЯ 12.

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.

Определение 1. Производной функции в точке называется предел , где - приращение аргумента, - приращение функции в точке . Более кратко можно записать так: .

Определение 2. Функция называется дифференцируемой в точке , если существует производная этой функции в точке . Если функция дифференцируема во всех точках некоторого множества , то функция дифференцируема не множестве M. Так как - произвольное число , то можно вместо записать :

Геометрический смысл: - угловой коэффициент секущей графика функции , т.е. прямой, проходящей через точки и , где .

Пример 1. Найти производную функции .

Решение:

= . Итак, .

Пример 2. Найти производную функции .

Решение: = . Мы получили .

Таблица производных основных элементарных функций.

1) , где ; 2) , где ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

Правила дифференцирования.

Пусть даны две дифференцируемые функции и . Тогда:

1. , где .

2. .

3. .

4. .

5. .

Доказательство 2. = = = . 

Доказательство 4. = = = = . Мы использовали свойства пределов функций и непрерывность функции . Остальные пункты доказываются аналогично. 