Получим

3, 08. 16, 94.

22.

60 коп. 75коп.

23.

100 человек составляют два класса и еще половину класса, т. е. 5 раз по полкласса. Следовательно, половина класса - это 20 человек. Тогда во всем классе 40 человек.

24.

1) 4 чашки и 4 блюдца стоят 10000 руб., а 4 чашки и 3 блюдца стоят стоят 8870 руб., следовательно, цена одного блюдца 10000 - 8870 = 1130 (руб.), 2) цена одной чашки 2500 - 1130 = 1370 (руб.).

25.

Одна четвертая часть куска мыла весит 3 / 4 кг. Следовательно, кусок мыла весит 12 / 4 кг, т.е. 3 кг.

26.

4 персика, 2 груши и яблоко весят 550 г, персик, 3 груши и 4 яблока - 450 г. Следовательно, 5 персиков, 5 груш, 5 яблок весят 1000 г. Таким образом, персик, груша и яблоко вместе весят 200 г.

27.

Пусть полный бак содержит 180 кг топлива. Тогда на каждый километр против течения тратится 5 кг, а по течению - 3 кг топлива. Следовательно, на 1 км по течению и против течения нужно 8 кг топлива. Имеем: 180: 8 = 22, 5 (км).

28.

" Сложим" все три условия. Получим, что удвоенная сумма орехов 36.

Ответ: 18 орехов.

29.

0, 5 кг составляет 0, 2 веса кошки. Следовательно, кошка весит 2, 5 кг

30.

Через 15 минут.

З А Д А Ч И Н А Д Е Л И М О С Т Ь Ч И С Е Л

При решении задач на делимость полезно знать некоторые признаки делимости. Для некоторых делителей эти признаки позволяют устанавливать делимость без выполнения самого деления. Так, например, ученикам 5 класса известны признаки делимости на 10, 5 и 2, 3, 9.

Задача 1. Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 - 2, на 4 - 3, на 5 - 4, на 6 - 5, на 7 - 6, на 8 - 7, на 9 - 8, на 10 - 9.

Задача 2. При делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли данное число нацело на 75 и почему?

Задача 3. Найти все числа, большие 25000, но меньшие 30000, которые как при делении на 393, так и при делении на 655 дают в остатке 210.

Задача 4. На складе имеются ножи и вилки. Общее число тех и других больше 300, но меньше 400. Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами, то в обоих случаях получается целое число десятков и целое число дюжин. Сколько было ножей и вилок на складе, если ножей было на 160 меньше, чем вилок?

Задача 5. Изменяется ли при делении с остатком частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза (ответ подтвердить примером)?

Задача 6. Даны три последовательных натуральных числа, из которых первое - четное. Докажите что произведение их кратно 24.

Задача 7. Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего отошли одновременно от одного и того же дерева. Длина шага отца - 70см, сына - 56 см. Найти расстояние между этими деревьями, если известно, что следы их совпали 10 раз.

Задача 8. Для устройства елки купили орехов, конфет и пряников - всего 760 штук. Орехов взяли на 80 штук больше, чем конфет, а пряников на 120 штук меньше, чем орехов. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса?

Задача 9. Если сложить несократимую дробь с единицей, то вновь полученная дробь будет также несократима. Почему?

Задача 10. Доказать, что произведение НОД и НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел.

Задача 11. Витя сказал своему другу Коле: “ Я придумал пример на деление, в котором делимое, делитель, частное и остаток оканчиваются соответственно на 1, 3, 5, 7 “. Подумав, Коля ответил: “Ты путаешь что – то”. Прав ли Коля?

Задача 12. Какую цифру надо поставить вместо буквы А в запись числа А37, чтобы оно делилось: а) на 6, б) на 9?

Задача 13. По периметру звезды в кружки впишите все числа от 1 до 10 так, чтобы суммы чисел в любых двух соседних кружках не делились ни на 3, ни на 5, ни на 7.

Задача 14. Четыре числа попарно сложили и получили шесть сумм. Известно четыре наименьшие из этих сумм 1, 5, 8 и 9. Найдите две остальные суммы и сами исходные числа.

Задача 15. Шарик умножил первые 10 простых чисел и получил число 6469693250. - Ты не прав, - сказал Матроскин. Почему?

Задача 16. Напишите наибольшее пятизначное число, кратное 9, такое, чтобы его первой цифрой была 3, а все остальные цифры были бы различны.

Задача 17. НОК двух чисел, не делящихся друг на друга, равно 630, а НОД их равен 18. Найти эти числа.

Задача 18. Доказать, что если сумма двух чисел есть число нечетное, то произведение этих чисел всегда будет числом четным.

Задача 19. Даны дроби 8 / 15 и 18 / 35. Найти наибольшее из всех чисел, при делении на которое каждой из данных дробей получаются целые числа.

Задача 20. Произведение четырех последовательных чисел равно 1680. Найдите эти числа.

Задача 21. В египетской пирамиде на гробнице начертано число 2520. Почему именно этому числу выпала “такая честь”? Одна из версий: данное число делится на все без исключения натуральные числа от1 до 10.Проверьте это.

Задача 22. Записав шесть различных чисел, среди которых нет 1, в порядке возрастания и перемножив, Оля получила в результате 135135. Запишите числа, которые перемножила Оля.

Задача 23. Доказать, что если сумма двух чисел есть число нечетное, то произведение этих чисел всегда будет числом четным.

Задача 24. Делится ли число 10¹⁹⁹⁶ + 8 на 9? Ответ обоснуйте.

РЕШЕНИЯ И ОТВЕТЫ.

1.

Если прибавить к искомому числу единицу, тогда полученное число будет делиться на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9, на 10. Таким наименьшим число является 10 * 9 * 4 * 7 = 2520, а искомое число на 1 меньше, т.е. 2519.

Ответ: 2519

2.

Да, так как 225 делится на 75 и 150 делится на 75, следовательно, остаток равен нулю. Данное число можно записать так: 225x+150, где x - частное. На основании делимости суммы ясно, что данное число делится на 75.

3.

НОК (131, 1965)=1965

4.

Так как число ножей и вилок (вместе) кратно 10 и 12, значит, оно делится на НОК (10 и12) = 60..Между числами 300 и 400 только 360 делится на 60.

Ответ: Ножей 100, вилок 260.

5.

Частное не изменится, а остаток увеличится в 3 раза.

6.

Из трех последовательных натуральных чисел обязательно одно кратно 3, а из двух последовательных четных одно кратно 4. Следовательно, произведение этих трех чисел делится и на 3, и на 2, и, кроме того, на 4, т.е. на 3 * 2 * 4 = 24.

7.

70 = 2 * 5 * 7, 56 = 2 * 7 * 4.

1) НОК(70, 56) = 70 * 4 = 280. Через каждые 280 см следы отца и сына совпадают.

2) 280 * 10 = 2800 (см), 2800 см = 28 м - расстояние между деревьями.

8.

Из рисунка видно, что пряников было 200 штук, орехов 320, а конфет 240. НОД (200, 240, 320) = 40. Наибольшее количество подарков - 40.

пряников

|------------------------------|

конфет

Всего - 760 |------------------------------|-----------|

орехов 120

|------------------------------|-----------------------------------------|

9.

НОД числителя и знаменателя несократимой дроби равен 1, значит, НОД суммы числителя со знаменателем равен 1, т.е. и вновь полученная дробь несократима.

10.

Так как НОК это произведение первого числа на недостающие множители из второго числа, то во втором числе не взятыми оказались множители, которые уже есть в первом числе (т.е. их НОД). Значит, произведение НОК на НОД равно произведению данных чисел.

11.

Пусть делимое - a, делитель - b, частное – q, остаток - r. Тогда а = b * q + r. Т. к. b и q оканчиваются на 3 и 5, то они нечетные и их произведение нечетно. Так как r оканчивается на 7, оно нечетно, следовательно, b * q + r - четно, но a оканчивается на 1 и нечетно. Поэтому Коля прав.

12.

а) Какую бы цифру мы не поставили вместо А, число А37 на 6 делиться не будет, так как оно не делится на 2. б) Чтобы число А37 делилось на 9, надо чтобы сумма его цифр делилась на 9, т.е. А + 3 + 9 должно делиться на 9, а А + 10 делится на 9 только если А = 8.

13.

1, 10, 7, 4, 9, 2, 6, 5, 8, 3 (по часовой стрелке, начиная с любого кружка).

14.

Две остальные суммы равны 12 и 16, а сами числа равны либо (-1), 2, 6, 10, либо (-3 / 2), 5/2, 13/2, 19/2.

15.

Например, потому, что получившееся у Шарика число не делится на 3 или поскольку делится на 25. Ни того, ни другого быть не может.

16.

Наибольшее пятизначное число, первая цифра которого 3, а остальные цифры различные, это 39876. Оно не делится на 9, но делится на 3, так как сумма его цифр равна 33. Из 9 идущих подряд чисел одно обязательно делится на 9. Если из числа 39876 вычесть 6, то получим 39870. Это число и является искомым, так как 39873 на 9 не делится.

17.

630: 18 = 35 (5 * 7 - произведение различных множителей данных чисел). Так как одно число не делится на другое, то эти числа могут быть только 5 * 18 = 90 и 7 * 18 = 126.

18.

Сумма двух чисел - число нечетное, следовательно, одно слагаемое - четное, а другое - нечетное. Произведение четного числа на любое целое число есть число четное.

19.

НОК (15 и 35) = 105. НОД (8 и 18) = 2, значит, 2 / 105 - наибольшее число, при делении на которое 8 / 15 и 18 / 35 дают в частных целые числа. Действительно, (8/15): (2/105) = 28 (целое), (18/35): (2/105) = 27 (целое).

20.

Ответ:

1680 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 5 * 6 * 7 * 8.

21.

2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7, т.е. данное число делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

22.

135135 =1001 * 135, 135 = 3 * 5 * 9, 1001 = 7 * 11 * 13, значит, 135135 = =3*5*7*9*11*13.

23.

Сумма двух чисел - число нечетное, следовательно, одно слагаемое - четное, а другое - нечетное. Произведение четного числа на любое целое число есть число четное.

24.

Заметим, что 10¹⁹⁹⁶ + 8 = 100...008 (всего 1995 нулей). Сумма цифр этого числа делится на 9, следовательно, и само число делится на 9.

З А Д А Ч И Н А П Р И Н Ц И П Д И Р И Х Л Е

При решении многих задач используются сходные между собой приемы рассуждений, получившие название “ принципа Дирихле “. Задачи на принцип Дирихле воспитывают у учащихся умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств. На решение задач по принципу Дирихле нужно посвятить несколько занятий, которые могут быть разделены занятиями на другие темы. Принцип Дирихле можно давать прямо на первых уроках, так как он достаточно рельефно характеризует специфику олимпиадных задач. Кроме того, многие задачи используют идеи принципа Дирихле в решении всей задачи или какой-то её части.

П Р И Н Ц И П Д И Р И Х Л Е.

В самой простой и несерьезной форме принцип Дирихле выглядит так: “нельзя посадить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось не больше двух зайцев “. Другая формулировка “ принципа Дирихле“: если n + 1 предмет поместить в n мест, то обязательно хотя бы в одном месте окажутся хотя бы два предмета. Заметим, что в роли предметов могут выступать и математические объекты - числа, места в таблице, отрезки и т.д.

Задача 1. В корзине лежат 30 грибов - рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов - хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине.

Задача 2. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

Задача 3. В магазин привезли 25 ящиков с тремя сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков одного сорта.

Задача 4. В квадрате со стороной 1 м бросили 51 точку. Докажите, что какие-то 3 точки из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

Задача 5. В бригаде 7 человек и их суммарный возраст 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не меньше 142.

Задача 6. В непрозрачном мешке лежат 5 белых и 2 черных шара. а) Какое наименьшее число шаров надо вытащить из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый шар?

Задача 7. Cколько надо взять двузначных чисел, чтобы по крайней мере одно из них делилось: а) на 2, б) на 7?

Задача 8. Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

Задача 9. Докажите, что в любой копании из пяти человек двое имеют одинаковое число знакомых.

Задача 10. 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть решившие ровно одну задачу, решившие ровно две задачи и решившие ровно три задачи. Докажите, что среди них есть школьник, решивший не менее пяти задач.

Задача 11. В школе 20 классов. В ближайшем доме живут 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы два одноклассника?

Задача 12. В школе учится 370 человек. Докажете, что среди всех учащихся найдутся два человека, празднующие свой день рождения в один и тот же день.

Задача 13. Коля подсчитал, что за завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше 4 конфет.

Задача 14. В классе 37 человек. Докажите, что среди них найдутся 4 человека с одинаковым числом дня рождения.

Задача 15. В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежат 10 коричневых и 10 красных носков одного размера. Сколько носков нужно достать, чтобы среди них была пара одинакового цвета?

Задача 16. Имеются три ключа от трех чемоданов с разными замками. Достаточно ли трех проб, чтобы открыть чемодан?

Задача 17. Какое наибольшее число полей на доске 8 Х 8 можно закрасить в черный цвет так, чтобы в любом уголке вида из трех полей было бы по крайней мере одно незакрашенное?

Задача 18. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 разбили на 3 группы. Докажите, что произведение чисел в одной из групп не меньше 72.

Задача 19. Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них - мужчины. Докажите, что какие-то двое мужчин сидят друг напротив друга.

Задача 20. На планете Тау - Кита суша занимает более половины площади планеты. Докажите, что тау-китяне могут прорыть тоннель, проходящий через центр планеты и соединяющий сушу с сушей.

Задача 21. Иван-царевич добыл ключи от нескольких комнат в подземелье, но не знал, какой ключ от какой комнаты. Сколько комнат в подземелье, если, как подсчитал Иван-царевич, в худшем случае, ему достаточно 20 проб, чтобы выяснить, какой ключ от какой комнаты.

Задача 22. В погребе стоит 20 одинаковых банок с вареньем. В 8-ми банках клубничное, в 7-ми малиновое, в 5-ти вишневое. Каково наибольшее число банок, которые можно в темноте вынести из погреба с уверенностью, что там осталось еще хотя бы 4 банки одного сорта варенья и 3 банки другого.

Решения и ответы.

1.

19 рыжиков и 11 груздей. Если бы в корзине нашлись 12 груздей, то ни один из них не был бы рыжиком, следовательно, количество груздей не превосходит 11. Если бы груздей было меньше 11, то их было бы не больше 10. В этом случае можно было бы найти 20 не груздей, следовательно, груздей - 11. Рыжиков - 19.

2. Достанем из мешка 3 шарика. Если бы среди шариков было не более одного шарика каждого из двух цветов, то всего было бы не более двух шариков - это очевидно, и противоречит тому, что мы достали 3 шарика. С другой стороны, понятно, что двух шариков может и не хватить. Ясно, что “ зайцами ” здесь являются шарики, а “ клетками” - цвета: черный и белый.

3.

В решении этой задачи нам поможет обобщенный принцип Дирихле: “ Если в n клетках сидят не менее kn + 1 зайцев, то в какой-то из клеток сидит, по крайней мере, k + 1 заяц. 25 ящиков – “зайцев” - рассадим по 3 “клеткам” - cортам. Так как 25 = 3 * 8 + 1, то, применив обобщенный принцип Дирихле для n = 3, k = 8, получим, что в какой-то “ клетке” – сорте не менее 9 ящиков.

4.

Разобьем квадрат на 25 квадратов со стороной 20 см. По обобщенному принципу Дирихле в какой-то из них попадет по крайней мере 3 точки из 51 брошенной.

Заметим, что в основе принципа лежит идея сложения неравенств. Одно замечательное свойство из неё гласит: ” Если сумма n чисел равна S, то среди них есть как число не большее S: n и число не меньшее S: n ”.

5.

Рассмотрим всевозможные тройки рабочих бригад. Сумма их суммарных возрастов, как легко подсчитать, равна 15*332, а таких троек 35. Значит, есть тройка, суммарный возраст в которой не меньше, чем (15*332): 35, что больше 142.

6. “ Худшим”, здесь является случай, когда мы будем вытаскивать все время черные шары. В этом случае, даже вытащив подряд 2 шара, мы не вытащим белого шара. Но если мы вы тащим 3 шара, то тогда уж точно из трех шаров по крайней мере один шар будет белым.

б) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый и хотя бы один черный шар?

Решение: “ Худшим ” здесь является случай, когда мы сначала будем вытаскивать одни белые шары и только потом попадается один черный шар. Поэтому потребуется вытащить 5 + 1 = 6 шаров.

в) Какое наименьшее число шаров надо вытащить, чтобы среди них наверняка оказались 3 белых и 1 черный шар?

Решение: В “ худшем “ случае мы сначала вытащим все белые шары, и затем лишь пойдут черные. Тогда придется вытащить 5 + 1 =6 шаров.

г) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них оказались два шара одного цвета?

Решение: “ Худший “ случай - когда сначала идут шары разных цветов. Это возможно, если мы вытащим 2 шара. А если мы вытащим третий, то уже будем иметь два шара одного цвета.

7.

а) В “ худшем “ случае, вытаскивая из мешка числа от 10 до 99, мы сначала будем иметь только нечетные числа - их 45, и поэтому 46-е число обязательно будет четным.

б) Среди 90 чисел от 10 до 99 имеется всего 13 чисел, делящихся на 7, т.е. в “худшем ” случае мы сначала вытащим 90 - 13 = 77 чисел, не делящихся на 7, но 78-е число уже точно будет делиться на 7.

8.

Решение этой задачи можно начать с вопроса о количестве различных остатков от деления числа на 11. Получив ответ, что их ровно 11, можно сделать вывод о том, что среди 12 чисел найдутся, по крайней мере, два, имеющие одинаковые остатки. Разность этих чисел и будет делится на 11. После этого надо найти “ зайцев” (12 чисел) и “ клетки ” (остатки от деления на 11).

9.

Имеются пять вариантов числа знакомых: от 0 до 4.Остается заметить, что если у кого-то четверо знакомых, то ни у кого не может быть ноль знакомых. (" Клетки", соответствующие 0 и 4, взаимно исключают друг друга.) Поэтому можно говорить о четырех “ клетках “- вариантах числа знакомых. Поскольку в компании пять человек – “зайцев ”, по принципу Дирихле обязательно найдутся хотя бы два человека, имеющие одинаковое число знакомых.

10. Из условия задачи можно заключить, что найдутся семь школьников, решивших 35 - (1 + 2 + 3) = 29 задач. Так как 29 = 7 * 4 + 1, то найдется школьник, решивший не менее 5 задач.

11.

Можно, так как классов (20) меньше, чем учеников (23).

12.

В году 365 дней, следовательно, у 5 учеников дни рождения могут совпасть.

13.

Доказываемое утверждение следует из равенства: 10 = 3*3 + 1

14.

В любом месяце дней не более 31, значит, для 37 учеников есть одинаковые числа, месяц роли не играет.

15.

3 носка.

16.

Достаточно.

17.

32 клетки.

18.

Если бы каждое из полученных произведений было меньше 72, то произведение всех чисел от 1 до 9 не превосходило бы 71³= 357911. Но 1*2*3*4*5*6*7*8*9= = 362880 > 357911.

19.

В противном случае женщин было бы не меньше, чем мужчин, что противоречит условию задачи.

20.

Покрасим всю сушу в синий цвет, а все точки, диаметрально противоположные суше – в красный. Площади синей и красной частей планеты будут равными. Если все красные точки покрыты водой, получаем противоречие с условием задачи. Поэтому найдется точка, покрашенная в оба цвета. В ней и надо рыть туннель.

21.

Первым ключом Иван-Царевич пробует открыть все двери (или меньше, если ключ к какой-то двери подойдет раньше), вторым – все, кроме одной, и т. д. предпоследним – две, последним – ни одной (дверь осталась одна). Так как 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20, в подземелье 6 дверей.

22.

Можно вынести 7 банок

З А Д А Ч И Н А И Н В А Р И А Н Т.

Олимпиадные задачи на инварианты можно условно разбить на два вида: те, в которых требуется доказать некий инвариант, т.е. он явно определен, и те, в которых инвариант используется при решении и сразу не очевиден. Принцип решения задач основан на поиске характеристики объекта, которая не меняется при выполнении действий, указанных в задаче (инвариант объекта). Стандартным является рассуждение: пусть на некотором шаге получился объект А. Применим к нему указанное действие и получим объект В. Что у них общего? Что изменилось?

Задача 1. На доске написаны числа 1, 2, 3,..., 101. Стирают произвольные числа и записывают разность стертых чисел, повторяют эту операцию 100 раз и в результате получают число Р. Докажите, что Р отлично от нуля.

Задача 2. 100 фишек стоят в ряд. Любые две фишки, расположенные через одну, можно менять местами. Удастся ли расположить фишки в обратном порядке?

Задача 3. Разместить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 по одному около вершин треугольника и около середин его сторон так, чтобы сумма трех чисел, расположенных около любой стороны, была одна и та же.

Задача 4: Можно ли в таблице 5 Х 5 клеток расставить 25 чисел так, чтобы сумма четырех чисел в каждом квадрате 2 Х 2 была отрицательной, а сумма всех 25 чисел положительной?

Задача 5. Записано 4 числа: 0, 0, 0, 1.За один ход разрешается прибавить по 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 одинаковых числа?

Задача 6. Даны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум числам прибавлять 1. Можно ли все шесть чисел сделать равными?

Задача 7. Новая шахматная фигура “жираф” ходит “буквой г” на четыре клетки в одном направлении и на пять клеток - в другом. Какое наибольшее число “жирафов” можно расставить на шахматной доске так, чтобы ни один не мог напасть на другого, сколько бы он ни ходил?

Задача 8. Расставьте в вершинах куба числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы сумма четырех чисел, расположенных на каждой из шести граней куба, была одинакова.

Решения и ответы.

1.

Надо учесть, что для двух любых чисел их сумма и разность имеют одинаковую четность. В качестве инварианта можно взять четность суммы чисел, записанных на доске. Сумма чисел каждый раз будет нечетна, т.е. Р нечетно и, значит, не равно нулю.

2.

Переставляя фишки, легко увидеть, что фишка, стоящая на нечетном месте, переходит только на нечетные места, значит, фишка, стоящая на первом месте, не сможет занять последнее сотое (четное) место

3.

Определим сумму чисел, стоящих вдоль одной стороны треугольника. Обозначив через a, b, c числа, стоящие в вершинах треугольника, найдем эту сумму: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + a + b + c): 3, т.е. (21 + a + b + c): 3. Это число целое, значит, a + b + c делится на 3. Заметив, что a + b + c не меньше, чем 1 + 2 + 3 = 6, и не больше, чем 4 + 5 + + 6 = 15, можно утверждать, что (a + b + c) находится среди чисел 6, 9, 12, 15, а возможные значения суммы чисел, расположенных вдоль стороны треугольника, таковы: 9, 10, 11, 12. Эти четыре случая дают четыре решения (начиная от любой вершины, по часовой стрелке переходим на сторону, на следующую вершину и т. д.): (2, 6, 1, 5, 3, 4); (1, 4, 5, 2, 3, 6); (4, 5, 2, 3, 6, 1); (5, 3, 4, 2, 6, 1).

4.

На рисунке изображена одна из таких возможностей. Все суммы в квадратах 2 Х 2 равны (-1), а сумма всех 25 чисел равна 2.

Ответ: Можно.

5.

Нельзя, так как сумма чисел будет всегда нечетной

6.

Сумма данных чисел равна 21. При прибавлении к ним двух единиц каждый раз получаем нечетное число. С другой стороны, сумма шести равных чисел равна четному числу.

Ответ: Нельзя.

7.

Ответ: 16 “жирафов”. На рисунке показано, как можно расставить 8 “жирафов”: каждого из них можно поставить в любую клетку, на которой стоит его номер, остальных 8 “жирафов” можно расставить симметрично первым восьми.

8.

В вершинах верхней грани по часовой стрелке: 2, 7, 6, 3; в вершинах нижней – соответственно: 8, 1, 4, 5 (2 – над 8, 7 – над 1 и т. д.)

З А Д А Ч И С Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К И М

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Задачи с геометрическим содержанием выделены в отдельный параграф, но предполагается, что такие задачи могут решаться в течение всего подготовительного курса. Эти задачи позволяют развивать пространственное мышление и комбинаторные способности, и поэтому обращаться к ним следует по возможности систематически.

Задача 1. Сколько углов образуют 5 различных лучей, направленных из одной точки?

Задача 2. Определите, чему равен угол между часовой и минутной стрелками часов в 23 часа 45 минут.

Задача 3. Разрежьте треугольник на два треугольника, четырехугольник и пятиугольник, проведя две прямые линии.

Задача 4. Разрежьте прямоугольник размером 4 * 8 на девять квадратов.

Задача 5. На прямой через равные промежутки поставили 10 точек, они заняли отрезок длины a. На другой прямой через те же промежутки поставили 100 точек, они заняли отрезок длины b. Во сколько раз a меньше b?

Задача 6. Расположите на плоскости 14 точек и соедините их, не пересекая, отрезками прямых так, чтобы из каждой точки выходило ровно четыре отрезка.

Задача 7. Разрежьте фигуру по линиям клеток так, чтобы получились четыре равные фигуры.

Задача 8. Разрежьте фигуру на три равные части:

Задача 9. Дан прямоугольник. Вдоль какой прямой его надо разрезать так, чтобы из двух получившихся частей можно было сложить ромб? Постройте эту прямую с помощью циркуля и линейки.

Задача 10. Разрежьте прямоугольник, длина которого 9 см, а ширина 4 см, на две равные части, из которых можно составить квадрат.