Приклад. Провести повне дослідження функції y= і побудувати її графік.

Провести повне дослідження функції y= і побудувати її графік.

Розв΄ язок.

Область визначення функції – вся числова вісь, крім точок x = -2 і x = 2, тобто . Функція неперіодична. Дослідимо її на парність і непарність:

Отже, дана функція непарна i її графік симетричний відносно початку координат. Тому далі будемо досліджувати функцію тільки при x 0 Знайдемо точки перетину графіка з осями координат:

з віссю Оy гpафік перетинасться при x = 0, звідси y = (0) = 0, тобто М(0; 0) - точка перетину з віссю Оy;

з віссю Ox графік перетинається, якщо f(x) = 0, тобто , звідки х= 0. Таким чином, M (0; 0) - єдина точка пеpетинy гpафiка з осями координат.

Знаходимо проміжки знакосталості функції:

i оскільки ми розглядаємо тільки

випадок x 0, то одержуємо 0< x< 2.

Аналогічно f(x) < 0 при x > 2.

Далі, =+∞, =-∞ тобто пряма х = 2 – вертикальна асимптота. Звідси, в силу симетрії, випливає, що пряма х=-2 – також вертикальна асимптота.

Знайдемо похилі асимптоти:

k= = =-1,

b= = = =0, тобто пряма y=-x-похила асимптота при x→ +∞ (те саме i при х ). Горизонтальних асимптот графік намає. Знайдемо проміжки монотонності i екстремуми функції, досліджуючи першу похідну:

Звідси видно (див. рис. 1), що при х 0 функція має максимум в точці

(причому ) , зростає на (0; 2) i () і спадає на

Рис. 1

Щоб визначити проміжки опуклості і точки перегину, обчислимо другу похідну:

Звідси зрозуміло, що при x функція випукла вropy (тобто < 0) на (2; + ) i випукла вниз (тoбтo f " (х) > 0) на (0; 2), x = 0 - точка перегину.

Враховуючи проведено дослідження, будуємо графік функції при x 0, a потім симетрично відображаємо його віднoсно початку координат (див. pиc.2).

Рис.2